फलन `sqrt(cot x)` का `x` के सापेक्ष प्रथम सिद्धांत से अवकलन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Explanation

माना `y=sqrt(cot x) .........(i)`
`therefore y+deltay=sqrt(cot (x+deltax))` .........(ii)
`therefore y+deltay-y=sqrt(cot (x+deltax))-sqrt(cot x)`
`Rightarrow deltay=(cot (x+deltax)-cot x)/(sqrt(cot(x+deltax))+sqrt(cot x))`
अंश: व हर को `sqrt(cot(x+deltax))+sqrt(cot x)` से गुना करने पर]
`Rightarrow delta=(1)/(sqrt(cot(x+deltax))+sqrt(cotx)) [(cos (x+deltax))/(sin(x+deltax))-(cos x)/(sin x)]`
`=(1)/(sqrt(cot (x+deltax))+sqrt(cot x))[((cos(x+deltax)sinx-sin (x+deltax)cosx))/(sin(x+deltax).sin)]`
`=(1)/(sqrt(cot (x+deltax))+sqrt(cot x))[(sin (x-x-deltax))/(sin (x+deltax).sin x)]`
`=(1)/(sqrt(cot (x+deltax))+sqrt(cot x))[(sin (x-deltax))/(sin (x+deltax).sin x)]`
`=(-1)/(sqrt(cot(x+deltax))+sqrt(cotx))[(sin deltax)/(sin(x+deltax)sinx)]`
दोनों पक्षों को `deltax` से भाग देकर `underset(deltax to 0)lim` लेने पर,
`Rightarrow underset(deltax to 0)lim (deltay)/(deltax)=(dy)/(dx)=underset(deltax to 0)overset(deltax to 0)lim (-1)/(sqrt(cot (x+deltax))+sqrt(cot x)).underset(deltax to 0)lim (1)/(sin (x+deltax)sin x).underset(deltax to 0)lim (sin deltax)/(deltax)`
`=(-1)/(sqrt(cot (x+0))+sqrt(cot x)).(1)/(sin (x+0).sinx).1`
`=(-1)/(2sqrtcotx).(1)/(sin^(2)x)=-(cosec^(2)x)/(2sqrtcot x)`
`therefore (d)/(dx)sqrt(cot x)=(-cosec^(2)x)/(2sqrtcotx)`