`sin x^(2)` का x के सपेक्ष प्रथम सिद्धांत से का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Explanation

माना `y=sin^(2) .......(i)`
`therefore y+deltay=sin(x+deltax)^(2)........(ii)`
`therefore y+deltay-y=sin(x+deltax)^2-sinx^(2)`
`Rightarrow deltay=2cos[((x+deltax)^2+x^(2))/(2)]sin [((x+deltax)^(2)-x^(2))/(2)]`
`=2cos [x^(2)+x deltax+((deltax)^(2))/(2)]sin ""((2x+delta)x.deltax)/(2)`
दोनों पक्षों को `deltax` से भाग देकर `underset(deltax to 0)` लेने पर
`underset(deltax to o)lim (deltay)/(deltax)=(dy)/(dx)=underset(deltax to o)lim 2((2x+deltax)/(2))cos[x^(2)+x deltax+((deltax)^(2))/(2)]((sin (2x+deltax))/(2))/((delta x(2x+deltax))/(2))`
अंश व हर को `((2x+deltax)/(2))` से गुना व भाग करने पर
`=underset(deltax to 0)lim (2x+deltax)cos(x^(2)+(deltax^(2))/(2))underset(deltax to 0)lim ((sin (2x+deltax))/(2))/((delta x(2x+deltax))/(2))`
`=(2x+0) cos(x^(2)+0+0)xx1" "(therefore underset(theta to 0)lim (sin theta)/(theta)=1)`
`=2x cos x^2`
`therefore (d)/(dx) sin x^(2)=2x cos x^(2)`