प्रथम सिद्धांत से `e^(ax)` का अवकलन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Explanation

माना `y=e^(ax)` ......(i)
`therefore y+deltay=log a(x+deltax)` ......(ii)
`therefore y+deltay-y=log a(x+deltax)-log ax`
`Rightarrow deltay=e^(ax+adeltax)-e^(ax)`
`=a^(ax).e^(adeltax)-e^(ax)`
`=e^(ax)[1+adeltax+(adeltax)^(2)/(2!)+((adeltax)^(3))/(3!)+......+oo-1]`
`=e^(ax)[adeltax+(adeltax)^(2)/(2!)+((adeltax)^(3))/(3!)+......+oo]`
`deltay=adeltae^(ax)[1+(adeltax)/(2!)+((adeltax)^(2))/(3!)+......oo]`
दोनों पक्षों को `deltax` से भाग देकर `underset(deltax to 0)lim` लेने पर
`underset(deltax to 0)lim ae^(ax)[1+(adeltax)/(2!)+(adeltax)^(2)/(3!)+........oo]`
`=ae^(ax)[1+0+0+....oo]`
`=a^(ex)`
`therefore (d)/(dx)e^(ax)=ae^(ax)`