फलन x sin x का x के सपेक्ष प्रथम सिद्धांत से का अवलंकन गुणांक ज्ञात कीजिएः

Explanation

माना `y=x sin x` ......(i)
`therefore y+deltay=(x+deltax)sin(x+deltax)` ......(ii)
`therefore y+deltay-y=(x+deltax)sin(x+deltax)-x sin x` ........(iii)
`(x+delta x)sin x ` घटाने तथा जोड़ने पर
`deltay=(x+deltax)[sin )(x+deltax)-sinx]+sin x[(x+deltax)-x]`
`Rightarrow deltay=(x+deltax)[2cos(x+(deltax)/2)sin((deltax)/(2))]+sin x.deltax`
दोनों पक्षों को `deltax` से भाग देकर `underset(deltax to 0)` लेने पर
`underset(deltax to 0)lim (deltay)/(deltax)=(dy)/(dx)= underset(deltax to 0)lim(x+deltax)2cos(x+(deltax)/(2))(sin""((deltax)/(2)))/(2((deltax)/(2)))+underset(deltax to 0)lim (deltax sin x)/(deltax)`
`=underset(deltax to 0)lim(x+deltax)2cos(x+(deltax)/(2)).underset(deltax to 0)lim(sin""((deltax)/(2)))/(2((deltax)/(2)))+underset(deltax to 0)lim sin x`
`=(x+0)cos (x+0)xx1+sin x`
`=x cos x+sin x`
`therefore (d)/(dx)(x sin x)=x cos x+sin x`