प्रथम n प्राकृत संख्याओं का माध्य, प्रसरण तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए |

Explanation

प्रथम n प्राकृत संख्याएँ 1,2,....,n होगी |
समान्तर माध्य `M=(Sigma x)/(n)=(1+2+3+....+n)/(n)`
`=(Sigma n)/(n)=(n(n+1))/(2cdot n)" "(because Sigma n =(n(n+1))/(2))`
`=(n+1)/(2)`
अब, `" प्रसरण "sigma^(2)=(1)/(n)Sigma (x-M)^(2)=(Sigma x^(2))/(n)-((Sigma x)/(n))^(2)`
`=(1)/(n)cdot(n(n+1)(2n+1))/(6)-[(1)/(n)cdot(n(n+1))/(2)]^(2)`
`=((n+1)(2n+1))/(6)-((n+1)^(2))/(4)`
`=((n+1))/(2)[((2n+1))/(3)-((n+1))/(2)]=((n+1))/(2)[(2(2n+1)-3(n+1))/(6)]`
`=((n+1))/(2)[(4n+2-3n-3)/(6)]=((n+1))/(2)((n-1)/(6))=(n^(2)-1)/(12)`
इसलिए, अभीष्ट मानक विचलन `sigma =sqrt((n^(2)-1)/(12))`