सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक प्रेक्षण की a से गुणा की जाती है, तो नये प्रेक्षणों का प्रसरण प्रारम्भिक प्रसरण का `a^(2)` गुणा हो जाता है |

Explanation

माना n प्रेक्षण `x_(1),x_(2),....x_(n)` है तथा `M_(1)` इनका समान्तर माध्य है |
तब परिभाषा से `" "sigma_(1)^(2)=(1)/(n)overset(n)underset(i=1)Sigma (x_(i)-M_(1))^(2)" ....(i)"`
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक निश्चित संख्या a से गुणा किया जाये तथा तब इनका समान्तर माध्य `M_(2)` हो, तो
`M_(2)=(Sigma (x_(i) a))/(n)=(a)/(n)Sigma x_(i)= a cdot M_(1)`
माना नया प्रसरण `sigma_(2)^(2)` है, तब
`sigma_(2)^(2)=(1)/(n)Sigma(ax_(i)M_(2))^(2)`
`=(1)/(n)Sigma a^(2)(x_(i)-M_(1))^(2)`
`=a^(2)(Sigma (x_(i)-M_(1))^(2))/(n)`
`=a^(2) sigma_(1)^(2)" "` यही सिद्ध करना था |