एक 5 सेमी त्रिज्या वाली पुली के चारों ओर लचीली बेल्ट चढ़ायी जाती है | बेल्ट के एक बिन्दु को पुली के केन्द्र O से सीधा P बिन्दु तक 10 सेमी तक खिंचा जाता है | पुली की रिम पर बचे हुए बेल्ट की लम्बाई ज्ञात कीजिए तथा छायांकित भाग का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए |

Explanation

चित्र में, माना `angleAOP=angleBOP=theta` है | स्पष्टत: समकोण OAP पर बेल्ट का AB भाग पुली के सम्पर्क में नहीं है |
त्रिभुज OAP में
`costheta=(OA)/(OP)=(5)/(10)=(1)/(2)`
`implies" "theta=60^(@)impliesangleAOB=2theta=120^(@)`
`:." ""चाप AB"=(120^(@)xx2xxpixx5)/(360)" सेमी."=(10pi)/(3)" सेमी. "[l=(theta)/(360)xx2pir" के प्रयोग पर"]`
अत: पुली की रिम पर चढ़ी हुई बेल्ट की लम्बाई
= रिम की परिधि - चाप AB की लम्बाई
`=2pixx5" सेमी."-(10pi)/(3)" सेमी."=(20pi)/(3)" सेमी."`

अब त्रिज्यखण्ड OAQB का क्षेत्रफल `=(120)/(360)xxpixx5^(2)" सेमी"^(2)=(25pi)/(3)" सेमी"^(2)" "[because" क्षेत्रफल"=(theta)/(360)xxpir^(2)]`
चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल `=2(DeltaOAP" का क्षेत्रफल")`
`=2xx((1)/(2)xx"OA"xx"AP")`
`=5xx5sqrt(3)" सेमी"^(2)" "[{:(because OP^(2)=OA^(2)+AP^(2)),(impliesAP=sqrt(100-25)=5sqrt(3)):}]`
`=25sqrt(3)" सेमी"^(2)`
अत: छायांकित क्षेत्रफल = चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल - त्रिज्यखण्ड OAQB का क्षेत्रफल
`=(25sqrt(3)-(25pi)/(3))" सेमी"^(2)=(25)/(3)(3sqrt(3)-pi)" सेमी"^(2)`