त्रिज्या r की एक अर्धवृत्तीय वलय पर धनात्मक आवेश q समान रूप से वितरित है। केंद्र O पर परिणामी क्षेत्र `vecE` है -

Options

A. `(q)/(4pi^(2)epsilon_(0)r^(2))hatj`
B. `(-q)/(4pi^(2)epsilon_(0)r^(2))hatj`
C. `(-q)/(2pi^(2)epsilon_(0)r^(2))hatj`
D. `(q)/(2pi^(2)epsilon_(0)r^(2))hatj.`

Answer

c

Explanation

बिंदु A और B पर dl लम्बाई के सममित खंड की कल्पना करो। A के पास dl लम्बाई के खंड के कारण बिंदु O पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`dE_(1)=(1)/(4pi epsilon_(0)).(dq)/(r^(2)),AO` दिशा में |

इसके दी घटक प्राप्त क्र सकते हैं-
(i) `(1)/(4pi epsilon_(0)).(dq)/(r^(2))cos theta, PO` दिशा में
तथा (ii ) `(1)/(4pi epsilon_(0)).(dq)/(r^(2))sin theta, PO` के दिशा में |
इसी प्रकार बिंदु B के dl लम्बाई के खंड के कारण बिंदु O पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`dE_(2)=(1)/(4pi epsilon_(0)).(dq)/(r^(2)),BO` दिशा में ।
उपर्युक्तानुसार इसके भी दो घटक होंगे । PO के लंबवत घटक एक-दूसरे को निरस्त करेंगे तथा PO के अनुदिश घटक जुड़-जायेंगे ।
`therefore" "E=int_(-(pi)/(2))^((pi)/(2))(1)/(4piepsilon_(0)).(dq)/(r^(2))cos theta`
यदि रैखिक आवेश घनत्व `lambda` हो, तो `dq=lambdadl =lambdar d theta`
`therefore" "E=int_(-(pi)/(2))^((pi)/(2))(1)/(4pi epsilon_(0)).(lambdard theta)/(r^(2))cos theta`
`=(lamdba)/(4pi epsiolon_(0)r)int_(-(pi)/(2))^((pi)/(2))cos theta d theta=(lambda)/(2pi epsilon_(0)r) int_(-(pi)/(2))^((pi)/(2))cos theta d theta=(lambda)/(2pi epsilon_(0)r)`
किन्तु `lambda=(q)/(2pi r) rArr E=(q)/(2pi^(2)epsilon_(0)r^(2))-hatj.`