गॉस नियम का उपयोग किये बिना किसी एकसमान रेखिक आवेश घनत्व ` lambda ` के लम्बे पतले तार के कारण विभ्युत क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त कीजिए|

Explanation

एक लम्बे सीधे पतले तार के निम्न चित्र में प्रदर्शित है
माना की निम्न चित्रनुसार एकसमान रैखिक आवेश घनत्व ` lambda ` का एक लम्बा पतला तार PQ है|माना dx अवयवी लम्बाई के कारण किसी बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र dE है तथा इस पर घनत्व है|
` therefore " "d=(1)/( 4pi varepsilon _0 ) (dq)/( r^(2))`
X अक्ष के अनुदिश विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
` " "dE_x =dEsin theta `
X अक्ष के अनुदिश कुल विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
` " "sum dEsin theta =0 `
तथा Y अक्ष के अनुदिश कुल विद्युत कुल विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
` " " dE_y = (1)/( 4pi varepsilon _0 ) ( dq)/( r^(2) ) (y)/( r) ,[ because cos theta =( y)/r] `
अतः ` " "E_ y =int dE cos theta =int_ (-pi //2) ^(pi //2) (1)/( 4pi varepsilon _0 ) (lambda dx)/(r^(2) )*( y)/r`
चित्र में ` Delta POA ` से,
` " " tan theta =(x)/(y)`
तथा ` " "x= ytan theta `
तथा ` " "dx =ysec ^(2) theta d theta `
` " "= ( y)/(cos ^(2) theta ) `
` because cos theta =(y)/(r) " " therefore r= (y)/(cos theta ) ` या ` (1)/(r) =(cos theta )/(y) `
` therefore " " E_y =int _(-pi//2) ^(pi//2) (1)/( 4pi varepsilon _0) lambda ((y)/( cos ^(2) theta ) d theta ) ( (cos theta )/( y)) ^(*2) * cos theta `
या ` " "E_ y =int _( -pi.//2) ^(pi//2) (lambda cos theta d theta )/(4pi varepsilon _0y) `
या ` E_y =(lambda )/(4pi varepsilon _0y) int _(-pi//2) ^(pi//2) cos d theta =(lambda )/(4pivarepsilon _0 y) [sin theta ] _ (-pi//2) ^(pi//2)`
या ` " "E_y =(lambda )/(4pivarepsilon _0y) [sin ""(pi)/(2) -sin ((-pi)/( 2))]`
या ` " "E_ y =(lambda )/( 2pi varepsilon _0 y ) `
` therefore ` परिणामी विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
` " "E= E_x +E_y `
` " " = 0+ (lambda )/(2pi varepsilon _0y) `
या ` " "E= (lambda )/( 2pivarepsilon _0y)`