किसी बैद्युत द्विध्रुव के कारण अक्षीय स्थिति में किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक स्थापित कीजिये।

Explanation

चित्र के अनुसार, माना कि AB एक वैद्युत द्विध्रुव है, जिसकी लम्बाई 2l तथा आवेश q है। इस वैद्युत द्विध्रुव के कारण अक्ष पर स्थित बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र कि तीव्रता ज्ञात करनी है।

द्विध्रुव के केंद्र O से बिंदु P की दुरी r है। यदि बिंदु B पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (बिंदु P पर) `E_(1)` हो, तो
`E_(1) = (1)/(4pi epsi_(0)) = (q)/((BP)^(2)) = (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((r - l)^(2))`
(दिशा BP में)...(1)
इसी प्रकार, बिंदु A पर स्थित आवेश `-q` के कारण बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`E_(2) = (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((AP)^(2)) = (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((r + l)^(2))`
(दिशा PA में)...(2)
अत: वैद्युत द्विध्रुव AB के कारण बिंदु P पर परिणामी तीव्रता
`E = E_(1) - E_(2)`
`= (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((r - l)^(2)) - (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((r + l)^(2))`
`E = (q)/(4pi epsi_(0)) [(1)/((r -l)^(2)) - (q)/((r + l)^(2))]`
` = (q)/(4pi epsi_(0)) [((r^(2) + l^(2) + 2rl) - (r^(2) + l^(2) - 2rl))/((r^(2) - l^(2))^(2))]`
`= (q)/(4pi epsi_(0)) [(4rl)/((r^(2) - l^(2))^(2))]`
`= (2r (q2l))/(4pi epsi_(0) (r^(2) - l^(2))^(2)), [ :' p = 2ql]`
`E =(2pr)/(4pi epsi_(0)(r^(2) - l^(2))^(2))` ....(3)
यही वैद्युत द्विध्रुव के कारण अक्षीय स्थिति में किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है।
अब यदि `r gt gt l` हो, तो `(r^(2) - l^(2)), r^(2)` होगा
अत: समी (3) से,
`E = (2pr)/(4 pi epsi_(0) r^(4)) = (2p)/(4pi epsi_(0)r^(3))`
यही छोटे द्विध्रुव के कारण अक्षीय स्थिति में किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है। जिसकी दिशा p के अनुदिश होती है।