वैद्युत द्विध्रुव के कारण निरक्षीय स्थिति पर उसके मध्य बिंदु से r दुरी पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का व्यंजक स्थापित कीजिये।

Explanation

चित्र के अनुसार, माना कि किसी वैद्युत द्विध्रुव AB का आवेश q तथा लम्बाई 2l है, अत: इसका द्विध्रुव आघूर्ण `p = q.2l` होगा। इस द्विध्रुव के कारण r दुरी पर स्थित किसी बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है।

यदि बिंदु B पर स्थित आवेश `+q` के कारण बिंदु P पर तीव्रता `E_(1)` हो, तो
`E_(1) = (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((BP)^(2))`
`= (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((OP^(2) + OB^(2)))`
`= (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((r^(2) + l^(2)))`....(1)
इसी प्रकार, बिंदु A पर स्थित `-q` आवेश के कारण तीव्रता
`E_(2) = (1)/(4pi epsi_(0)) ((q))/((AP)^(2))`
`= (10)/(4pi epsi_(0)) (q)/((OP^(2) + OA^(2)))`
`= (1)/(4pi epsi_(0)) (q)/((r^(2) + l^(2)))`…(2)
इस प्रकार `vec(E)_(1)` की दिशा `vec("PM")`के अनुदिश तथा `vec(E)_(2)` की दिशा `vec("PN")` के अनुदिश होगी जिनकी परिणामी तीव्रता `vec(E)` सदिश `vec(PQ)` के अनुदिश होगी।
समीकरण (1) और (2) से,
`E_(1) = E_(2)`
अब AP = BP
`:. anglePBA = anglePAB = theta` (मानलो)
अत: `E_(1)` और `E_(2)` के बीच का कोण `2theta` होगा।
अब बलों के समांतर चतुर्भुज नियम से बिंदु P पर परिणामी क्षेत्र
`E =2E_(1) "cos" (2theta)/(2) = 2E_(1) cos theta`
`= (q)/(4pi epsi_(0) (r^(2) + l^(2))) 2 cos theta`
[समीकरण (1) से `E_(1)` का मान रखने पर]
`= (q)/(4pi epsi_(0)(r^(2) + l^(2))) (2l)/((r^(2) + l^(2))^(1//2))`
[ `:'` चित्र से, `cos theta = (l)/(sqrt(r^(2) + l^(2)))`]
`= (1)/(4pi epsi_(0)) (q.2l)/((r^(2) + l^(2))^(3//2)), [ :' p = q.2l]`
`= (1)/(4pi epsi_(0)) (p)/((r^(2) + l^(2))^(3//2))`…(3)
यही किसी बैद्युत द्विध्रुव के कारण निरक्षीय स्थिति में r दुरी पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है।
अब यदि द्विध्रुव छोटा हो तथा `r gt gt l` हो, तो
`(r^(2) + l^(2)) ~= r^(2)` होगा
अत: समी (3) से,
`E = (1)/(4pi epsi_(0)) (p)/(r^(3))`
यही छोटे वैद्युत द्विध्रुव के कारण निरक्षीय स्थिति में किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है। इसकी दिशा `vec(P)` के समांतर एवं विपरीत होती है।