सिद्ध कीजिये की किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला सम्पूर्ण विद्युत फ्लक्स, उस बंद पृष्ठ के अंदर उपस्थित आवेश का गुना होता है, जहाँ मुक्त आकर की विद्युतशीलता है।

Explanation

गॉस के प्रमेय के अनुदार, किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाले सम्पूर्ण विद्युत फ्लक्स का मान उस बंद पृष्ठ के अंदर उपस्थिति कुल आवेश का `(1)/(epsi_(0))` गुना होता है।
अर्थात `phi = underset(s)int vec(E).vec(ds) = (1)/(epsi_(0)) Sigma q = (1)/(epsi_(0))Q`
(यहाँ Q पृष्ठ के अंदर उपस्थित कुल आवेश का मान है।)
चित्र के अनुसार, एक बंद पृष्ठ S के अंदर बिंदु O पर `(+q)` आवेश रखा है। बिंदु O से r दुरी पर, पृष्ठ पर एक बिंदु P है।

इस बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`E = (1)/(4pi espi_(0)) (q)/(r^(2))`...(1)
इसकी दिशा `vec(OP)` के अनुदिश होती है।
इस पृष्ठ के चारो ओर एक छोटा-सा क्षेत्रफल ds है। इस क्षेत्र `vec(ds)` की दिशा, इस क्षेत्र ds पर खींचे गए अभिलम्ब PN के अनुदिश होती है।
इस पृष्ठ वेक्टर `vec(ds)` तथा विद्युत क्षेत्र `vec(E)` के बीच का कोण `theta` है। तब इस क्षेत्रफल ds से गुजरने वाले फ्लक्स का मान
`d phi_(E) = vec(E).vec(ds) = E ds cos theta`...(2)
समीकरण (1) से E का मान समीकरण (2) में रखने पर,
`d phi_(E) = ((1)/(4pi epsi_(0)) (q)/(r^(2))) ds cos theta`
`= (q)/(4pi epsi_(0)) .((ds cos theta)/(r^(2)))`
`= (q)/(4pi epsi_(0)) - dw`,
(जहाँ `dw = (ds cos theta)/(r^(2))` पृष्ठ ds द्वारा बिंदु O पर बनाया गया घनकोण है)
अत: बंद पृष्ठ S में गुजरने वाला सम्पूर्ण विद्युत फ्लक्स
`phi_(E) = oint vec(E).vec(ds) = oint (q)/(4pi epsi_(0))dw`
अर्थात `phi_(E) = (q)/(4pi epsi_(0)) oint_(s) dw`
किन्तु `oint dw = 4pi`
या `phi_(E) = (q)/(epsi_(0))`
यही गॉस का प्रमेय है।