गॉस के प्रमेय द्वारा रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की गणना कीजिये।

Explanation

चित्र के अनुसार, माना MN एक लम्बा रैखिक आवेश निकाय है इससे r दुरी पर स्थित बिंदु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है। रैखिक आवेश निकाय का आवेश घनत्व (प्रति एकांक लम्बाई आवेश) `lamda` है। रेखा MN को अक्ष मानकर r त्रिज्या तथा l लम्बाई का एक बेलन खींचो। इसका सम्पूर्ण पृष्ठ गॉसियन पृष्ठ की तरह कार्य करेगा।

इस गॉसियन पृष्ठ के अंदर आवेश
`q = lamda l`...(1)
बिंदु P को घेरे हुए एक अल्प पृष्ठ `vec(ds)` की कल्पना करो।
इस पृष्ठ `vec(ds)` से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स
`d phi_(E) = vec(E).vec(ds)`
गॉसियन बेलनाकार पृष्ठ को तीन भागो में विभाजित किया जा सकता है-
(i) समतल वृत्तीय पृष्ठ `S_(1)` (ii) समतल वृत्तीय पृष्ठ `S_(2)` (iii) वक्रीय पृष्ठ `S_(3)` सम्पूर्ण गॉसियन पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स
`phi = underset(S)oint vec(E).vec(ds) = underset(S_(1))oint vec(E).vec(ds) + underset(S_(2))oint vec(E) - vec(ds) + underset(S_(3))ointvec(E).vec(ds)`
`phi = underset(S_(1))oint E ds cos 90^(@) + underset(S_(2))oint E ds cos 90^(@) + underset(S_(1))oint E ds cos 0^(@)`
`= 0 + 0 + underset(S_(3))(oint) E ds = underset(S_(3))oint E ds = E underset(S_(3))oint ds`
किन्तु `oint ds = 2pi rl` (वक पृष्ठ)
`:. Phi = E.2pi rl`…(2)
किन्तु गाउसीय के प्रमेय से,
`phi_(E) = (q)/(epsi_(0))`….(3)
समीकरण (2) ओर (3) से,
`E.2pi rl = (q)/(epsi_(0))`
या `E = (1)/(2pi rl epsi_(0)).(q)/(l)`
समीकरण (1) से q का मान रखने पर,
`E = (1)/(2pi r epsi_(0)).(lamda l)/(l)` है।
या `E = (lamda)/(2pi r epsi_(0))`
यही अभीष्ट सूत्र है।