प्रेरकत्व एवं संधारित्र युक्त प्रत्यावर्ती धारा परिपथ की आवृत्ति का सूत्र व्यत्पन्न कीजिए ।

Explanation

चित्र (a) के अनुसार माना कि L प्रेरकत्व की एक कुण्डली तथा C धारिता की एक कुण्डली को प्रत्यावर्ती वोल्टेज स्त्रोत के साथ श्रेणी में जोड़ा गया है जिसका समीकरण निम्नलिखित है -
`V=V_(0)sinomegat`

माना कि किसी क्षण t परिपथ में प्रवाहित प्रत्यावर्ती धारा I है जिससे प्रेरकत्व कुण्डली के सिरों का विभवांतर `V_(L)` तथा संधारित्र के सिरों का विभवांतर `V_(C)` है |
जहाँ `V_(L)=IX_(L)` तथा `V_(C)=IX_(C)` होगा |
विभवांतर `V_(L)` धारा I से `90^(@)` अग्रगामी होता है तथा विभवांतर `V_(C)` धारा I से `90^(@)` पश्चगामी होता है अतः `V_(L)` और `V_(C)` के बीच `180^(@)` का कलान्तर होगा |
अर्थात L-C परिपथ का फेजर आरेख चित्र (b) के अनुसार होता है । यदि `V_(L)` और `V_(C)` का परिणामी V हो तो परिणामी वोल्टेज
`V=V_(L)-V_(C)=IX_(L)-IX_(C)`
`=I(X_(L)-X_(C))`
`:." "(V)/(I)=X_(L)-X_(C)`
`=omegaL-(1)/(omegaC)` . . .(1)
ओम के नियमानुसार `(V)/(I)` परिपथ का प्रभावी प्रतिरोध अर्थात प्रतिबाधा Z होगी अर्थात L-C परिपथ की प्रतिबाधा
`Z=omegaL-(1)/(omegaC)` . . .(2)

यही L-C परिपथ की प्रतिबाधा का सूत्र है । चित्र (b) से स्पष्ट है कि परिपथ में प्रवाहित धारा तथा आरोपित विभवांतर के बीच कलान्तर `pi//2` होता है अर्थात कलान्तर
`phi=pm(pi)/(2)` . . .(3)
अनुनाद की स्थिति तथा अनुनादी आवृत्ति
L-C प्रत्यावर्ती परिपथ में धारा का आयाम
`I_(0)=(V_(0))/(Z)=(V_(0))/(omegaL-(1)/(omegaC))` . . . (4)
अब यदि `X_(L)=X_(C)` हो अर्थात `omegaL=(1)/(omegaC)` हो, तो समीकरण (4) से,
`I_(0)=(V_(0))/(0)=oo`
अतः इस स्थिति में धारा का आयाम अनंत हो जायेगा । इसे विधुतीय अनुनाद की स्थिति कहते है अतः अनुनादीय स्थिति में
`omegaL=(1)/(omegaC)`
या `omega^(2)=(1)/(LC)`
या `omega=(1)/(sqrt(LC))`
या `2pif=(1)/(sqrt(LC))`
या `f=(1)/(2pisqrt(LC))` . . . (5)
यही L-C परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र है