अवतल दर्पण के लिए u,v, व f में संबंध स्थापित कीजिए।

Explanation

मानलो MPN के अवतल दर्पण है। P इसका ध्रुव F फोकस, C वक्रता-केन्द्र है।
मानलो वस्तु AB का वास्तविक प्रतिबिम्ब `A'B` बनता है।
Q से मुख्य अक्ष पर QR लम्ब डालों।
`Delta ABC` और `A'B'C'` समरूप है ।

`:. (AB)/(AB)=(CB)/(BC)`
या `(A'B')/(AB)=(B'C)/(CB) " ...(i)`
`Delta A'B'F` और `Delta QRF` समरूप है ।
`:.(A,B)/(QR)=(FB)/(RF)`
परन्तु `QR=AB`
`:. (A'B)/(AB)=(FB)/(RF) " "...(2)`
समीकरण (1) और (2) से,
`(FB)/(RF)=(B'C)/(CB)`
यदि दर्पण का द्वारक छोटा हो, तो
`RF=PF`
`:.(FB)/(PF)=(B'C)/(CB)`
या `(BP'-PF)/(PF)=(PC-PB')/(PB-PC) " "...(3)`
परन्तु `PB=-u,PF=-f` तथा `PC=-R=-2f` समीकरण (3) में मान रखने पर,
`(-v+f)/(-f)=(-2f+v)/(-u+2f)`
या `(-v+f)(-u+2f)=-f(-2f+v)`
`u v-2 vf-uf+2f^(2)=2f^(2)-vf`
या `uv=v f+ u f`
दोनों पक्षों में `uf` का भाग देने पर, `(1)/(f)=(1)/(u)+(1)/(v)`