किसी गोलीय अपवर्तक तल के लिए सिद्ध कीजिए की-
`(u-1)/(R)=(mu)/(v)-(1)/(u)`
जहाँ संकेतों के सामान्य अर्थ है ।

Explanation

मान लो `APB` एक अवतल तल का मुख्य परिच्छेद है। P उसका ध्रुव तथा C वक्रता-केंद्र है । इसके बायीं ओर तथा दायी ओर `mu` अपवर्तनांक का कोई माध्यम है।
इसके मुख्य अक्ष पर बिंदु आकर की कोई वास्तु O रखी है जिसका अपवर्तक तल द्वारा आभासी प्रतिबिम्ब I बनता है ।
चित्रानुसार, आपतन `angle OMC=1`
अपवर्तन `angle LMN= angle IMC=r`

मान लो `angle MOC= alpha, angle MIC= beta`
तथा `angle MCP= theta`
अब स्नेल के नियमानुसार,
` mu=(sin i)/( sin r)`
या ` mu=(1)/(r)`
`( :.i` और r के मान बहुत कम है)
या `i= mu r " "...(1)`
`Delta OPMC` में,
`theta=i+ alpha` या `ui= theta -alpha`
तथा `Delta IMC` में,
`theta=r+ beta` या `r= theta-beta`
i और r के मान समीकरण (1) में रखने पर,
`theta-alpha= mu ( theta-beta)`
या ` theta- alpha= mu theta - mu beta`
या `mu beta -alpha=( mu-1) theta " "...(2)`
पुनः `alpha=(PM)/(PO) beta=(PM)/(PI)` तथा `theta=(PM)/(PC)`
समीकरण (2) में मान रखने पर,
`mu(PM)/(PI)-(PM)/(PO)=(mu-1) (PM)/(PC)`
या `(mu)/(PI)-(1)/(PO)=((mu-1))/(PC) " "...(3)`
परन्तु `PI=v,PO=-u` तथा `PC=-R`
समीकरण (3) में मान रखने पर,
`(mu)/(-v)-(1)/(-u)=(mu-1)/(-R)`
या ` (mu)/(v)-(1)/(v)=(mu-1)/(R)`
या `(mu-1)/(R)=(mu)/(v)-(1)/(u)`