`mu_(1)` और `mu_(2)` अपवर्तनांक वाले `(mu_(2) gt mu_(1))` दो माध्यमों को पृथक करने वाले गोलीय उत्तर अपवर्तनांक पृष्ठ प्रकाश के अपवर्तन द्वारा बने वस्तु के प्रतिबिब निर्माण हेतु किरण आरेख इस आरेख की सहायता से निम्न सबंध की व्युत्पत्ति कीजिए ।
`(mu_(1))/(v)-(mu_(1))/(u)=(mu_(2)-mu_(1))/(R)`
जहाँ प्रयुक्त संकेतों के सामान्य अर्थ है ।

Explanation

मान लो `APB` उत्तर पृष्ठ का मुख्य परिच्छेद है। इसके बायीं ओर वायु जिसका अपवर्तन `mu_(1)` तथा दाई ओर अपवर्तनांक `mu_(2)` का कोई माध्यम (काँच) है। P इसका ध्रुव तथा C वक्रता केंद्र है। इस पृष्ठ के मुख्य अक्ष पर बिंदु आकर की कोई वस्तु O स्थित है । ` theta` से चलने वाली एक किरण `OP` वक्रता केंद्र C की दिशा में आपतित होती है । अतः बिना विचलित हुए सीधे चली जाती है । `theta` से चलने वाले दूसरी किरण `OM` अपवर्तन के पश्चात् अभिलंब CM की ओर मूड जाती है ओर MI मार्ग का अनुसरण करती है। दोनों किरणे परस्पर बिंदु I पर मिलती है । इस प्रकार `theta` का वास्तविक प्रतिबिंब I पर बनता है ।
आपतन कोण `angle OML=i`
आपतन कोण `angle IMC=r`
मान लो `angle MOC= alpha, angle MCP= theta`
तथा `angle MIC= beta` स्नेल के नियमनुसार
` mu=""_(1) beta_(2)=(mu_(2))/( mu_(1))= (sin i)/( sin r)`
` mu_(1) sin i= mu_(2) sin 2 " " ...(1)`
i ओर r के मान बहुत कम होते है अतः `sini=i` तथा `sin r=r`
`(mu_(2))/(mu_(1))=(i)/(r)`
`mu_(1)i= mu_(2) r" " ..(2)`
आपतित किरण, अपवर्तित किरण तथा अभिलंब मुख्या अक्ष के साथ क्रमशः `alpha, beta` व `theta` कोण बनाते है।
तथा `Delta OMg` में `i= alpha + theta`
तथा `Delta IMC` में `Q=r +beta` या `r= theta-beta`
समीकरण (1) में, ओर i और r के मान रखने पर,
`mu_(1) (alpha+ theta)= mu_(2) (theta- beta) " "...(3)`
सूत्र- कोण `=("चाप")/("त्रिज्या")`
`Q alpha, beta ` व `theta` के मान अंत्यंत अल्प है अतः
`tan alpha= alpha =(PM)/(MO), tan beta = beta , (PM)/(PI)`
तथा `tan theta = theta =(PM)/(PC)`
पृष्ठ के बिंदु `M` के मुख्य अक्ष पर डाला गया लंब `MP` है। चूँकि `P` व `P` अत्यंत निकट है अतः `PM=PM` होंगे समी (3) में रखने पर,
`mu_(1)((PM)/(PO)+(PM)/(PC))= mu_(2)((PM)/(PC)-(PM)/(PI))`
`mu_(1) ((1)/(PO)+(1)/(PC))= mu_(2)((1)/(PC)-(1)/(PI))`
`PO=-u,PI=v, PC=+R`
`:. mu_(1)((-1)/(u)+(1)/(R))= mu_(2)((1)/(R)-(1)/(v))`
`(mu_(2)-mu_(1))/(R)=(mu_(2))/(v)-(mu_(1))/(u)`
इस सूत्र को उत्तर पृष्ठ का अपवर्तन सूत्र कहते है।