एक चालक के विशिष्ट प्रतिरोध हेतु मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या घनत्व श्रांतिकाल के पदों में व्यंजक ज्ञात कीजिए |

Explanation

मानलो किसी चालक की लम्बाई l तथा उसके परिच्छेद का क्षेत्रफल A है | उसके प्रति एकांक आयतन में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या n है | चालक के सिरों में V विभवान्तर आरोपित करने पर उसमें I धारा प्रवाहित होती है |
चालक के भीतर प्रत्येक बिन्दु पर विधुत क्षेत्र की तीव्रता `E=(V)/(l)`
इस विधुत क्षेत्र के कारण चालक के प्रत्येक मुक्त इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल
`F=eF=e(V)/(l)`,(जहाँ e इलेक्ट्रॉन का आवेश है)
यदि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान m हो, तो इलेक्ट्रॉन में उतपन्न त्वरण
`a=(F)/(m)=(eV)/(ml)`
यदि चालक के भीतर इलेक्ट्रॉन का श्रांतिकाल `tau`हो तो इलेक्ट्रॉन प्राप्त द्वारा अधिकतम वेग
`v=0+(eV)/(ml)tau=(eV)/(ml)tau, " "(:' v=u+at से)`.....(1)
धनायनों से टक्क्र के पश्चात इलेक्ट्रॉन का वेग पुनः शून्य हो जाता है | अतः मुक्त इलेक्ट्रॉन का अनुगमन वेग
`v_(d)=(0+(eVtau)/(ml))/(2)=(eV)/(2ml)tau" "`..(2)
परन्तु धारा `" "I="ne"AV_(d)`
समी. (2)से `v_(d)`का मान रखने पर,
`I="ne"A((eVtau)/(2ml))=("ne"^(2)tau)/(2m)(A)/(l)V`
या `" "(V)/(I)=((2m)/("ne"^(2)tau))(l)/(A)" "`....(3)
यदि चालक का ताप नियत रहे तो `((2m)/("ne"^(2)tau))(l)/(A)`एक नियतांक के बराबर होगा | इस नियतांक को R से प्रदर्शित करते है | इसे चालक का प्रतिरोध कहते है |
अतः समी.(3)से ,`(v)/(I)=R`यही ओम का नियम है |
स्पष्टतः `" "R=((2m)/("ne"^(2)tau))(l)/(A)" "`....(4)
परन्तु `" "R=rho(l)/(A)" "`.....(5)
जहाँ, `rho`चालक का विशिष्ट प्रतिरोध है |
समी.(4)एवं (5)की तुलना करने पर चालक का विशिष्ट प्रतिरोध,
`rho=(2m)/("ne"^(2)tau)" "`यही अभीष्ट व्यंजक है |