एकसमान आवेशित छड़ जिसकी लम्बाई 2l तथा कुल आवेश q है, के कारण उसके लम्ब समद्विभाजक पर दूरी r पर स्थित किसी बिन्दु पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कीजिए।

Explanation

चित्र 1.36 में 2l लम्बाई की एक छड़ AB है जिस पर एकसमान रूप से वितरित कुल आवेश है। तार पर आवेश का रैखिक घनत्व `lamda=q/(2l)` है। हमें छड़ के समद्विभाजक पर बिन्दु O से दूरी r पर स्थित किसी बिन्दु P पर विद्युत् क्षेत्र की गणना करनी है।
माना छड़ पर बिन्दु O से दूरी x पर लम्बाई dx का एक अल्पांश C है। इस अल्पांश C पर आवेश `= lamdadx.` अल्पांश C के कारण बिन्दु P पर विद्युत् क्षेत्र
`vecdE_(1)=1/(4piepsilon_(0))(lamdadx)/((r^(2)+x^(2)))` (दिशा `vec(CP)` में)
इसी प्रकार, बिन्दु O के दूसरी ओर दूरी x पर लम्बाई dx के अल्पांश D के कारण बिन्दु P पर विद्युत् क्षेत्र
`vec(dE_(2))=1/(4piepsilon_(0))(lamdadx)/((r^(2)+x^(2)))` (दिशा `vec(DP)` में)
स्पष्टत: `vec(dE_(1))` तथा `vec(dE_(2))` परिमाण में बराबर हैं। यदि `vec(dE_(1))` तथा `vec(dE_(2))` को क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर अवयवों में वियोजित करें तो हम पाते हैं कि इनके ऊर्ध्वाधर अवयव परस्पर बराबर तथा विपरीत दिशा में होने के कारण निष्फल हो जाते हैं तथा क्षैतिज अवयव एक दिशा में होने के कारण जुड़ जाते हैं। अत: बिन्दु P पर परिणामी विद्युत् क्षेत्र
`vec(dE) = abs(vec(dE_(1)))cos theta + abs(vec(dE_(2)))cos theta` , जहाँ `abs(vec(dE_(1)))= abs(vec(dE_(2)))` (दिशा `vec(OP)` में)

`rArrvec(dE)=2xx1/(4piepsilon_(0))(lamdadx)/((r^(2)+x^(2)))costheta`
चूँकि `x//r=tantheta,thereforedx=rsec^(2)thetadtheta` (दिशा `vec(OP)` में)
अब यदि छड़ AB के सिरों A व B द्वारा बिन्द P पर अन्तरित कोण `2alpha` है तो सम्पूर्ण छड़ के कारण विद्युत् क्षेत्र, उपर्युक्त समीकरण का `theta = 0` से `oo` तक समाकलन करके ज्ञात किया जा सकता है, अत: सम्पूर्ण छड़ के कारण बिन्दु P पर
विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता `vecE=int_(0)^(alpha)lamda/(2piepsilon_(0)r)costhetad theta=lamda/(2piepsilon_(0)r)(sintheta)_(0)^(alpha)=(lamdasinalpha)/(2piepsilon_(0)r)`
`=1/(2piepsilon_(0))lamda/rl/(sqrt(r^(2)+l^(2)))=1/(4piepsilon_(0))q/(rsqrt(r^(2)+l^(2)))` न्यूटन/कूलॉम (दिशा `vec(OP)` में)
(क्योंकि `sin alpha = l//sqrt(r^(2)+l^(2))` तथा `q = lamda.2l`)
विशेष परिस्थिति-यदि छड़ अनन्त लम्बाई की है तो,`vecE=int_(0)^(pi//2)lamda/(2piepsilon_(0)r)costhetad theta=lamda/(2piepsilon_(0)r)(sintheta)_(0)^(pi//2)=1/(2piepsilon_(0))lamda/r=1/(4piepsilon_(0))q/(rl)` न्यूटन/कूलॉम (दिशा `vec(OP)` में)|
स्पष्टत: विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता छड़ के बिन्दु की लम्बवत् दूरी के व्युत्क्रमानुपाती है तथा छड़ से दूर उस बिन्दु को ओर दिष्ट है।