त्रिज्या R के एक वलय पर आवेश q एकसमान रूप से वितरित है। इसकी अक्ष पर केन्द्र से x दूरी पर स्थित बिन्दु पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कीजिए।

Explanation

चित्र 1.37 में मीटर त्रिज्या का एकसमान वलय है जिस पर q कूलॉम आवेश एकसमान रूप से वितरित है। हमें इसकी अक्ष पर केन्द्र O से x दूरी पर स्थित किसी बिन्दु P पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है। वलय की परिधि की एकांक लम्बाई पर आवेश (अर्थात् रेखीय आवेश घनत्व)
`lamda=q/(2pir)` कूलॉम/मीटर
माना वलय की परिधि के बिन्दु A पर dl लम्बाई का एक छोटा अवयव है जिस पर आवेश `dq = lamdadl` होगा। इस आवेश अवयव के कारण बिन्दु P पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता
`vec(dE_(1))=1/(4piepsilon_(0))(lamdadl)/((r^(2)+x^(2)))` (`vec(OP)` दिशा में)
इसी प्रकार, वलय के व्यासाभिमुखी विपरीत और बिन्दु B पर dl लम्बाई के अवयव के कारण बिन्दु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`vec(dE_(2))=1/(4piepsilon_(0))(lamdadl)/((r^(2)+x^(2)))` (`vec(BP)` दिशा में)
स्पष्टतः `vec(dE_(1))` तथा `vec(dE_(2))` परिमाण में बराबर है। अब यदि `vec(dE_(1))` तथा `vec(dE_(2))`को क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर अवयवों में वियोजित करें तो हम पाते हैं कि इनके ऊर्ध्वाधर अवयव परस्पर बराबर एवं विपरीत दिशा में होने के कारण एक-दूसरे को निष्फल कर देते हैं तथा क्षीतज अवयव परस्पर जुड़ जाते हैं। अत: बिन्दु P पर परिणामी विद्युत क्षेत्र की तीव्रता
`vec(dE)=vec(dE_(1))costheta+vec(dE_(2))costheta` (`vec(OP)` दिशा में)

`rArrvec(dE)=2xx1/(4piepsilon_(0))(lamdadl)/((r^(2)+x^(2)))xxx/(sqrt(r^(2)xxx^(2)))`
(क्योंकि `costheta=(OP)/(AP)=x/(sqrt(r^(2)+x^(2)))`)
`=1/(2piepsilon_(0))(lamdadlx)/((r^(2)+x^(2))^(3//2))`
अब सम्पूर्ण वलय के कारण बिन्दु P पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता, वलय के ऐसे सभी छोटे-छोटे अवयवों के कारण विद्युत् क्षेत्र की तीव्रताओं के योग के बराबर होगी, अर्थात्
`vecE=sum1/(2piepsilon_(0))(lamdadlx)/((r^(2)+x^(2))^(3//2))` (`vec(OP)` दिशा में)
`=1/(2piepsilon_(0))(lamdax)/((r^(2)+x^(2))^(3//2))sumdl=1/(2piepsilon_(0))(lamdax)/((r^(2)+x^(2))^(3//2))xxpir`
(क्योंकि वलय की अर्द्धपरिधि के लिए `sum dl = pir`)
या `vecE=1/(2piepsilon_(0))(qx)/((r^(2)+x^(2))^(3//2))`न्यूटन/कूलॉम `(becauseq=lamda.pir)`
स्पष्टत: एकसमान धनावेशित वलय के कारण उसकी अक्ष के किसी बिन्दु पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता, वलय की अक्ष के अनुदिश बाहर की ओर होगी, लेकिन यदि वलय ऋणावेशित है तो इसकी दिशा, अक्ष के अनुदिश वलय की ओर होगी।