लिखिए कि क्या किसी धन पूर्णांक का वर्ग `3m+2` के रूप का नहीं हो सकता, जहां `m` कोई प्राकृतिक संख्या हैं। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

Explanation

माना `a` कोई धन पूर्णांक है।
माना `b=3`
यूक्‍लिड विभाजन प्रमेयिका से
`a=3q+r`
जहां `0lerlt3`
अर्थात `r=0,1,2`
(i) जब `r=0` तो
`a=3q`
`impliesa^(2)=9q^(2)=3(3q^(2))=3m` जहां `m=3q^(2)` एक पूर्णांक है।
(ii) जब `r=1` तो
`a=3q+1`
`impliesa^(2)=(3q+1)^(2)=9q^(2)+6q+1=3(3q^(2)+2q)+1=3m+1`
जहां `m=3q^(2)+2q` एक पूर्णांक है।
(iii) जब `r=2` तो
`a=3q+2`
`impliesa^(2)=(3q+2)^(2)`
`=9q^(2)+12q+4=3(3q^(2)+4q+1)+1=3m+1`
जहां `m=3q^(2)+4q+1` एक पूर्णांक है।
अतः किसी धन पूर्णांक का वर्ग `3m` या `3m+1` के रूप का होता है और यह `3m+2` के रूप का नहीं हो सकता है जहां `m` कोई पूर्णांक है।