दिखाइए कि `n,(n+1)` और `(n+2)` में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है जहां `n` कोई धन पूर्णांक है।

Explanation

जब `n` को 3 से विभाजित किया जाता है तो माना भागफल `q` और शेषफल `r` प्राप्त होता है।
`:.n=3q+r`
जहां `0lerlt3` अर्थात `r=0` या `r=1` या `r=2`
(i) जब `r=0` तो
`n=3q`
जो 3 से विभाज्य है।
`n+1=3q+1`
जिसे 3 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है।
अर्थात `(n+1),3` से विभाज्य नहीं है।
`n+2=3q+2`
जिसे 3 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है।
अर्थात `(n+2),3` से विभाज्य नहीं है।
अतः `r=0` तो केवल `n=3q,3` से विभाज्य है।…………..1
(ii) जब `r=1` तो
`n=3q+1`
जो 3 से विभाज्य नहीं है। ( `:’` शेषफल `=1`)
`n+1=3q+2`
जो 3 से विभाज्य नहीं है। ( `:’` शेषफल `=2`)
`n+2=3q+3=3(q+1)`
जो 3 से विभाज्य है।
अतः `r=1` तो केवल `n+2,3` से विभाज्य है। ………………….2
(iii) जब `r=2` तो
`n=3q+2`
जो 3 से विभाज्य नहीं है। ( `:’` शेषफल `=2`)
`impliesn+1=3q+3=3(q+1)`
जो 3 से विभाज्य है।
`n+2=3q+4=3q+3+1=3(q+1)+1`
जो 3 से विभाज्य नहीं है। ( `:’` शेषफल `=1`)
अत: `r=2` तो केवल `n+1,3` से विभाज्य है……………3
अतः समीकरण 1, 2 और 3 से हम कह सकते हैं कि `n(n+1)` और `(n+2)` में से एक और केवल एक 3 से विभाज्य है।