दिखाइए कि किसी विषम धन पूर्णांक के पूर्ण वर्ग होने के लिए, यह `8k+1` के रूप का होना चाहिए।
या
दिखाइए कि `a^(2)` को 8 से विभाजित करने पर 1 शेष बचेगा यदि `a` एक विषम धन पूर्णांक है।

Explanation

माना `a=2n+1` एक विषम पूर्णांक है `n epsilon I` (ऋणेत्तर)
`:.a^(2)=(2n+1)^(2)=4n^(2)+4n+1`
`:’n epsilonI` यहां दो स्थितियां सम्भव हैं।
स्थिति I: माना `n` एक सम संख्या है `n=2p` (माना) `p epsilonI`
`:.a^(2)=4(2p)^(2)+4(2p)+1`……………..1
`=16p^(2)+8p+1=8(2p^(2)+p)+1=8k+1`…………………1
स्थिति II: माना `n` एक विषम संख्या है `n=2r+1` (माना) `r epsilonI`
`:.a^(2)=4(2r+1)^(2)+4(2r+1)+1`
`=4(4r^(2)+4r+1)+8r+4+1`
`=16r^(2)+24r+8+1=8(2r^(2)+3r+1)+1=8k+1`
………………..2
समीकरण 1 और 2 से हम कह सकते हैं कि किसी विषम संख्या का वर्ग हमेशा `8k+1` के रूप का होता है।
दूसरे शब्दों में हम कह सकते है कि `a^(2)` को 8 से‌ विभाजित करने पर 1 शेष बचता है।