सिद्ध कीजिए कि `sqrt(2)` अपरिमेय है।

Explanation

माना यदि सम्भव है `sqrt(2)` परिमेय है तथा इसका सरलतम रूप `a/b` है।
तब `a` और `b` पूर्णांक है तथा इनमें 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं हैं तथा `b!=0`
अब `sqrt(2)=a/b`
`implies2=(a^(2))/(b^(2))`
`impliesa^(2)=2b^(2)`………………1
`2b^(2),2` से विभाज्य है।
`:.a^(2),2` से विभाज्य है।
`impliesa,2` से‌ विभाज्य है। (प्रमेय)
माना `a=2c` किसी पूर्णांक c के लिए
`:.` समीकरण 1 से
`(2c)^(2)=2b^(2)`
`impliesb^(2)=2c^(2)`
`2c^(2),2` से विभाज्य है
`:.b^(2),2` से विभाज्य है।
`impliesb,2` से विभाज्य है।
माना `b=2d` किसी पूर्णांक `d` के लिए
अतः a और b दोनों में 2 उभयनिष्ठ है।
परंतु यह हमारे पूर्व कथन, कि a और b में 1 अतिरिक्त कोई उभ्यनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है, का विरोध करता है अतः हमारी कल्पना गलत है।
`:.sqrt(2)` अपरिमेय है।