यदि `p` एक अभाज्य संख्या है तो `sqrt(p)` है-

Options

A. अपरिमेय
B. परिमेय
C. भाज्य होगा
D. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer

A

Explanation

माना `p` एक अभाजय संख्या है और माना यदि सम्भव है तो `sqrt(p)` परिमेय है।
माना `sqrt(p)` का सरलतम रूप `a/b` है।
तब a और b पूर्णांक है तथा इनमें 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और `b!=0`
अब `sqrt(p)=a/b`
`impliesp=(a^(2))/(b^(2))`
`impliesa^(2)=pb^(2)`
`pb^(2),p` से विभाज्य है।
`:.a^(2),p` से विभाज्य है।
`implies a,p` से विभाज्य है।
माना `a=pc` किसी पुर्णांक c के लिए
समीकरण 1 से
`(pc)^(2)=pb^(2)`
`impliesb^(2)=pc^(2)`
परंतु `pc^(2),p` से विभाज्य है।
`:.b^(2),p` से विभाज्य है।
`implies b,p` से विभाज्य है।
माना `b=pd` किसी पूर्णांक d के लिए
अतः a और b में एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड `p` है।
परंतु यह हमारे पूर्व कथन कि a और b में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभ्यनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है, का विरोध करता है।
अतः हमारी कल्पना गलत है।
`:.sqrt(p)` अपरिमेय है।