यूक्‍लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक `m` के लिए `3m` या `3m+1` के रूप का होता है।

Explanation

माना `a` एक धनात्मकपूर्ण है।
यूक्‍लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से
माना a के 3 से विभाजित करने पर भागफल `q` तथा शेषफल `r` है।
`:.a=3q+r` जहां `r=0,1,2`
`impliesa=3q+0` या `a=3q+1`या `a=3q+2`
अब `a=3q`
`impliesa^(2)=(3q)^(2)=9q^(2)=3(3q^(2))=3m`
जहां `m=3q^(2)` एक पूर्णांक है।
पुनः `a=3q+1`
`impliesa^(2)+(3q+1)^(2)=9q^(2)+6q+1`
`=3(3q^(2)+2q)+1=3m+1`
जहां `m=3q^(2)+2q` एक पूर्णांक है।
तथा `a=3q+2`
`impliesa^(2)+(3q+2)^(2)=9q^(2)+12q+4`
`=3(3q^(2)+4q+1)+1=3m+1`
जहां `m=3q^(2)+1` एक पूर्णांक है।
अतः `a^(2)=3m` या `3m+1`
किसी धन पूर्णांक का वर्ग किसी धन पूर्णांक `m` के लिए `3m` या `3m+1` के रूप में होता है।