यूक्‍लिड विभाजन प्रमेयिक का प्रयोग करके दर्शाइए‌ कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन `9m,9m+1` या `9m+8` के रूप का होता है।

Explanation

माना `a` एक धनात्मक पूर्णांक है।
यूक्‍लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से
माना `a` को 3 से विभाजित करने पर भागफल `q` और शेषफल `r`है।
`:.a=3q+r` जहां `r=0,1,2`
`impliesa=3q+0`या `a=3q+1` या `a=3q+2`
अब `a=3q`
`=a^(3)+(3q)^(3)=27q^(3)=9(3q^(3))=9m`
जहां `m=3q^(3)` एक पूर्णांक है।
पुनः `a=3q+1impliesa^(3)=(3q+1)^(3)`
`=27q^(3)+3(3q)(1)(3q+1)+1`
`=27q^(3)+9q(3q+1)+1`
`=9[3q^(3)+3q^(2)+q]+1=9m+1`
जहां `m=3q^(3)+3q^(2)+q` एक पूर्णांक है।
तथा `a=3q+2impliesa^(3)=(3q+2)^(3)`
`=27q^(3)+3(3q)(2)(3q+2)+8`
`=9[3q^(3)=6q^(2)+4q]+8`
`=9m+8` जहां `m=3q^(3)+6q^(2)+4q` एक पूर्णांक है।
`:.a^(3)=9m` या `9m+1` या `9m+8`
`implies` किसी घन पूर्णांक का घन `9m` या `9m+1` या `9m+8` के रूप में होता है।