बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है: (i) `13/3125` (ii) `17/8` (iii) `64/455` (iv) `15/1600`
लिखित उत्तर
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(i) `13/3125=13/(5xx5xx5xx5xx5)` `=13/(5^(5))=13/(2^(0)xx5^(5))` इसका हर `2^(0)xx5^(5)` है जिसके अभाजय गुणनखण्डों में केवल 2 और 5 है। अतः `13/3125` का दशमलव प्रसार सान्त है। (ii) `17/8=17/(2xx2xx2)=17/(2^(3)xx5^(0))` इसका हर`2^(3)xx5^(0)` है जिसके अभाजय गुणनखण्डों में केवल 2 और 5 हैं। अतः `17/8` का दशमलव प्रसार सान्त है। (iii) `64/455=64/(5xx7xx13)` इसके हर में 5 के अतिरिक्त अभाजय गुणनखण्ड 7 और 13 है जो `2^(m)xx5^(n)` के रूप में नहीं है। अतः `64/455` का दशमलव प्रसार असान्त और आवर्ती हैं (iv) `15/1600=(3xx5)/(2xx2xx2xx2xx2xx2xx5xx5)` `=3/(2^(6)xx5^(1))` (सरलतम रूप) इसका हर `2^(6)xx5^(1)` है जिसके अभाज्य गुणनखण्डों में केवल 2 और 5 है। अतः `15/1600` का दशमलव प्रसार सान्त है। (v) `29/343=29/(7xx7xx7)=29/(7^(3))` इसके हर में अभाज्य गुणनखण्ड 7 है जो `2^(m)xx5^(n)` के रूप में नहीं है। अत: `29/243` का दशमलव प्रसार असान्त और आवर्ती है। (vi) `23/(2^(3).5^(2))` इसका हर `2^(3).5^(2)` है जिसके अभाज्य गुणनखण्डों में केवल 2 और 5 है। अतः `23/(2^(3).5^(2))` का दशमलव प्रसार सान्त है। (vii) `129/(2^(2).5^(7).7^(5))` इसका हर `2^(2).5^(7).7^(5)` है `2^(m)xx5^(n)` के रूप में नहीं है। अतः `129/(2^(2).5^(7).7^(5))` का दशमलव प्रसार असान्त एवं आवर्ती है। (viii) `6/15=(3xx2)/(3xx5)=2/5` इसका हर 5 है जिसके अभाज्य गुणनखंडों में केवल 5 है। अतः `6/15` का दशलव प्रसार सान्त है। (ix) `35/50=(5xx7)/(2xx5xx5)=7/(2xx5)` इसका हर `2xx5` है जिसके अभाज्य गुणनखण्डों में केवल 2 और 5 है। अतः `35/50` का दशमलव प्रसार सान्त है। (x) `77/210=(7xx11)/(2xx5xx3xx7)=11/(2xx5xx3)` इसका हर `2xx5xx3` है जो `2^(m)xx5^(n)` के रूप में नहीं है। अतः `77/210` का दशमलव प्रसार असान्त एवं आवर्ती है।
