सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपद के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं प्रत्येक स्थिति में शून्यको और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
`x^(3)-4x^(2)+5x-2,2,1,1`

Explanation

(i) माना `p(x)=2x^(3)+x^(2)-5x+2`
`:." "p((1)/(2))=2((1)/(2))^(3)+((1)/(2))^(2)-5((1)/(2))+2`
`=(1)/(4)+(1)/(4)-(5)/(2)+2=0`
`rArr" "(1)/(2),p(x)` का एक शून्यक हैं
पुनः `p(1)=2(1)^(3)-5(1)+2`
`=2+1-5+2=0`
`rArr1,p(x)` का एक शून्यक हैं ।
पुनः
`p(-2)=2(-2)^(3)+(-2)^(2)-5(-2)+2`
`=-16+4+10+2=0`
`rArr-2,p(x)` का एक शून्यक हैं |
अब, `p(x)=2x^(3)+x^(2)-5x+2` में
`a=2,b=1,c=-5,d=2`
`:." "-(b)/(a)=-(1)/(2)=(1)/(2)+1+(-2)=` शून्यको का योग
`(c)/(a)=(-5)/(2)=(1)/(2)xx1+1xx(-2)+(1)/(2)xx(-2)`
= दो - दो शून्यको के गुणनफलो का योग
तथा `-(d)/(a)=(-2)/(2)=-1`
`=(1)/(2)xx1xx(-2)=` शून्यको का गुणनफल
अतः बहुपद के शून्यको और गुणांकों और गुणांकों में सम्बन्ध सत्य हैं
(ii) माना `p(x)=x^(3)-4x^(2)+5x-2`
`:." "p(2)=(2)^(3)-4(2)^(2)+5(2)-2`
`=8-16+10-2=0`
`rArr2,p(x)` का एक शून्यक हैं |
पुनः `p(1)=(1)^(3)-4(1)^(2)+5(1)-2`
`=1-4+5-2=0`
`rArr1,p(x)` का एक शून्यक हैं |
अब `p(x)=x^(3)-4x^(2)+5x-2` के लिये
`a=1,b=-4,c=5,d=-2`
`:." "-(b)/(1)=-((-4))/(1)=4=2+1+1=` शून्यको का योग
`(c )/(a)=(5)/(1)=5=2xx1+1xx1+1xx2`
= दो - दो शून्यको के गुणनफलो का योग
तथा `-(d)/(a)=-((-2))/(1)=2=2xx1xx1`
= शून्यको का गुणनफल
अतः बहुपद के शून्यको और गुणांकों में सम्बन्ध सत्य हैं ।