माना `f(x) = 3x^(2)+5x-2`, तो `f(x)=0` को
(i) द्विघात के गुणखणड द्वारा
(ii) द्विघात सूत्र द्वारा
(iii) पूर्ण वर्ग बनाकर
हल कीजिये ।

Explanation

`f(x) = 3x^(2)-5x-1`
`therefore f(x)=0`
`rArr 3x^(2)-5x-1=0`
(i) यह द्विघात समीकरण गुदानखंड द्वारा पूर्ण रूप से वास्तविक पूर्णाकों के प्रयोग से हल नहीं की जा सकती। अतः इसे दूसरी विधियों से हल करना उपुक्त है।
(ii) `3x^(2)-5x-1=0`
`ax^(2)+bx+c=0` से तुलना करने पर
`a=3, b=-5, c=-1`
`therefore` इसके दो मूल हैं:
`alpha = (-b+-sqrt(b^(2)-4ac))/(2a)` और `=(-5)+sqrt(b^(2)-4ac)/(2a)`

`therefore x` के दो मान `5+sqrt(37)/(6)` और `(5-sqrt(37))/(6)` हैं
(iii) `3x^(2)-5x-1=0`
`rArr x^(2)-5/3x+......+=1/3+......`
`rArr x^(2)-5/3x+(5/6)^(2)=1/3 + (5/6)^(2) [दोनों पक्षों में ((x का गुणांक) /(2))^(2)]`
`rArr (x-5/6)^(2) = 1/3 + 25/36`
`rArr (x-5/6)^(2) = (12+25)/(36)`
`rArr (x-5/6)^(2) = (sqrt(37)/6)^(2)`
`rArr x-5/6 = +-(sqrt(37)/6)^(2)`
`rArr x-5/6 = +-sqrt(37)/6`
`therefore x=5/6 + sqrt(37)/6 = (5+sqrt(37))/(6) , x=5/6 - sqrt(37)/6 = (5-sqrt(37))/(6)`
`therefore x` के दो मान `(5+sqrt37))/(6)` और `(5-sqrt(37))/(6)` हैं
अब `f(x) =3x^(2) -5x-1 = 3(x^(2)-5/3x)-1`
`=3(x^(2)-5/3x +25/36 - 25/36)-1`
`=3(x^(2)-5/3x+25/36-25/36)-1`
`=3(x-5/6)^(2)-25/12 -1 =3(x-5/6)^(2)-37/12`
जो `A(x-B)^(2)-C`,के रूप में हैं जंहा `A=3, B=5/6, C=37/12`