सिद्ध कीजिये की समीकरण
`(x-a)(x-b) + (x-b) (x-c) + (x-c)(x-a)=0`
के दोनों मूल वास्तविक हैं परन्तु वे सामान होंगे यदि a=b=c हैं।

Explanation

दी समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता हैं:
`3x^(2)-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)=0`
`therefore` विविक्तकार `D=B^(2)-4AC`
`D=4(a+b+c)^(2)-4 xx 3(ab+bc+ac)`
`D=4(a^(2)+b^(2)+c^(2)+2ab+2bc+2ac)-12(ab+bc+ac)`
`=4(a^(2)+b^(2)+c^(2)-ab-bc-ac)`
`=2(2a^(2)+2b^(2)+2c^(2)-2ab-2bc-2ac)`
`=2[a^(2)+b^(2)-2ab+b^(2) +c^(2)-2bc+c^(2)-2bc+c^92)+a^(2)-2ac`
`=2[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)(c-a)^(2)] ge 0`
`[therefore (a-b)^(2) ge 0, (b-c)^(2) ge 0` और `(c-a)^(2) ge 0]`
अतः समीकरण के दोनों मूल वास्तविक हैं।
सामान मूलों के लिए, D=0
`rArr (a-1)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)=0`
`rArr a-b=0, b-c=0, c-a=0`
`rArr` a=b=c
अतः मूल सामान होंगे जब a=b=c