एक `A.P.` के प्रथम m पदों के योग और प्रथम n पदों के योग के बराबर है|सिद्ध कीजिए की इसके प्रथम (m +n ) पदों का योग शून्य होगा|(दिया है,`mne n` )

Explanation

माना `A.P.` का प्रथम पद 'a ' और सार्वान्तर 'd ' है|
दिया है, ` " " S_m=S_n`
` rArr" " (m)/(2) [2a +(m-1) d]=(n)/(2) [2a +(n-1) d]`
` " " 2am +(m^(2) -m) d=2an +(n^(2) -n)d`
` rArr" " 2a (m-n)+(m^(2)-m) -(n^(2)-n) d=0`
` rArr " "2a(m-n) +(m^(2)-n^(2))-(m-n) d=0`
` rArr 2a (m-n) +[(m-n)(m+n) -(m-n) ]d=0`
`rArr " " 2a (m-n) +(m-n) (m+n-1 )d=0`
` rArr" " (m-n)[2a +(m+n-1)d]=0`
`rArr" " 2a +(m+n-1)d=0" " ...(1)(becausemnen)`
अब,`" " S_(m+n) =(m+n)/(2) [2a +(m+n-1)d]`
` " " =(m+n)/(2)xx0" " [("समीकरण ") (1) ("से ")]`
` " "=0`