यदि एक `A.P.` के प्रथम 'm ' पदों का योग 'n ' और प्रथम 'n ' पदों का योग 'm ' है तो दिखाइए की इसके (m + n ) पदों का योग `-(m+n) ` है|

Explanation

माना `A.P.` का प्रथम पद 'a ' और सार्वान्तर 'd ' है|
दिया है,`" " S_m =n`
` rArr " " (m)/(2) [2a+(m-1)d]=n`
` rArr " " 2am +(m^(2)-m )d =2n `
और `" "S_n =m`
` rArr " " (n)/(2) [2a +(n-1)d]=m`
` rArr " " 2an+(n^(2)-n )d =2m " " ....(2)`
समीकरण (1 ) से (2 ) को घटाने पर,
` " " 2a(m-n) +{(m^(2)-n^(2) )-(m-n) }d=2 (n-m)`
`rArr 2a (m-n) +{(m-n) (m+n) -(m-n) } d =-2(m-n)`
` rArr " " 2a(m-n) +(m-n) (m+n-1 ) d=-2(m-n)`
`rArr " " 2a +(m+n-1)d =-2" ".....(3)`
अब,`" " S_(m+n) =(m+n)/(2) {2a+(m+n-1)d}`
` " " =(m+n)/(2) (-2) =-(m+n)`