दिए चित्र में यदि `angleB=90^@` है तथा BD,AC पर लम्ब है तो सिद्ध कीजिये कि
(i) `DeltaADB~DeltaBDC` (ii) `DeltaADB~DeltaABC`
(iii) `DeltaBDC~DeltaABC` (iv) `BD^2=ADxxDC`
(v) `AB^2=ADxxAC` (vi) `BC^2=CDxxAC`
(vii) `AB^2+BC^2=AC^2`

Explanation

(i) `DeltaADB" और "DeltaBDC`
अब `DeltaADB" और "DeltaBDC` में
`angle5=angle4" "` (प्रत्येक `90^@`)
`angle1=angle3" "` (अभी सिद्ध किया है)
(ii) `DeltaADB" और "DeltaABC`
`angle5=angle1+angle2" "` (प्रत्येक `90^@`)
`angle6=angle6" "` (उभयनिष्ठ)
(iii) `DeltaBDC" और "DeltaABC`
`angle4=angle1+angle2" "` (प्रत्येक `90^@`)
`angle3=angle3" "` (उभयनिष्ठ)
(iv) `BD^2=ADxxDC` , के लिए , हमें दो त्रिभुज समरूप सिद्ध करने होंगे जिनमे BD, AD और DC भुजाये दी है `DeltaABD" और "DeltaBDC` , ऐसे त्रिभुज है जिनको भाग (i) में समरूप किया गया है
अतः
`rArr " " BD^2=ADxxDC" "` यही सिद्ध करना था
(v) `AB^2=ADxxAC` के लिए , हमें दो त्रिभुज समरूप सिद्ध करने होंगे जिनमे AB,AD और AC भुजाये दी है `DeltaABD" और "DeltaABC` , ऐसे त्रिभुज है जिनको भाग (ii) में समरूप किया गया है
अतः `DeltaADB~DeltaABC`
`rArr " " AB^2=ADxxAC" "` ...(1) यही सिद्ध करना था
(vi) `BC^2=CDxxAC` के लिए , हमें दो त्रिभुज समरूप सिद्ध करने होंगे जिनमे BC,CD और AC भुजाये दी है `DeltaBDC" और "DeltaABC` , ऐसे त्रिभुज है जिनको भाग (iii) में समरूप किया गया है
अतः
`therefore " " BC^2=CDxxAC" "` ...(2) यही सिद्ध करना था
(vii) (1) और (2)को जोड़ने पर
`AB^2+BC^2=ADxxAC+CDxxAC`
`=AC(AD+CD)`
`=ACxxAC=AC^2" "` यही सिद्ध करना था