दिए चित्र में , DEFG एक वर्ग है और `angleBAC=90^@` है सिद्ध कीजिये कि :
(i) `DeltaAGF~DeltaDBG`
(ii) `DeltaAGF~DeltaEFC`
(iii) `DeltaDBG~DeltaEFC`
(iv) `DE^2=BDxxEC`

Explanation

(i) `therefore squareDEFG` एक वर्ग है
`therefore` GF||BC
`rArr " " angle2=angle4 " और " angle6=angle9" "` (संगत कोण)
अब `DeltaAGF" और "DeltaDBG` में
`angle5=angle1" "` (प्रत्येक `90^@`)
`angle4=angle2" "` (संगत कोण)
(ii) `DeltaAGF" और "DeltaEFC` में
`angle5=angle8" "` (प्रत्येक `90^@`)
`angle6 =angle9" "` (संगत कोण)
(iii) ` therefore " " DeltaAGF~DeltaDBG` [ (i) में सिद्ध किया है]
और `DeltaAGF~DeltaEFC` [ (ii) में सिद्ध किया है]
`therefore " " DeltaAGF~DeltaDBG~DeltaEFC` यही सिद्ध करना था
(iv) अब `therefore " " (DB)/(EF)=(DG)/(EC)" "` (समरूप त्रिभुजों कि संगत भुजाए समानुपाती होती है)
`rArr " " DGxxEF=BDxxEC`
`rArr " " DExxDE=BDxxEC " " (therefore DG=FE=DE " वर्ग की भुजाये")`
`rArr " " DE^2=BDxxEC` यही सिद्ध करना था
यदि हमें केवल चौथा भाग सिद्ध करना है अर्थात `DE^2=BDxxEC` सिद्ध करना है तो पहले दो भाग करने में आवश्यकता नहीं है
`DE^2=BDxxEC` के लिए हमें ऐसे दो त्रिभुज समरूप सिद्ध करने है जिनमे भुजाये DE,BD और EC है `DeltaGBD" और "DeltaFEC` ऐसे दो त्रिभुज है
अब `DeltaGBD" और "DeltaFEC` में
`angle1=angle8` (प्रत्येक `90^@`)
`angle3=angle9` (अभी सिद्ध किया है)
`DGxxEF=BDxxEC`
`rArr " " DExxDE=BDxxEC " " (therefore DG=EF=DE, " वर्ग की भुजाये" )`
`rArr " " DE^2=BDxxEC` यही सिद्ध करना था