दी आकृति में, OP वृत्त के व्यास के बराबर है। सिद्ध कीजिए कि `DeltaABP` एक समबाहु त्रिभुज है।

Explanation

माना `angleOPA=angleOPB=theta`
(`:'` स्पर्श रेखायें केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती है)
और वृत्त की त्रिज्या r है।
`:'angle1=90^(@)" "` ( स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा के लम्बवत होती है)
`:.` समकोण `DeltaOAP` में,
`sintheta=(OA)/(OP)=(r)/(2r)=(1)/(2)=sin30^(@)`
`:.theta=30^(@)" "impliesangleAPB=2theta=2xx30^(@)=60^(@)" "....(1)`
अब, PA=PB" " (एक बाह्य बिन्दु से खींची स्पर्श रेखाओं की लम्बाईयाँ समान होती है)
`:.angle2=angle3" "` (समान भुजाओं की सम्मुख कोण बराबर होते है) " " ....(2)
`DeltaAPB` में,
`angle2+angle3+angleAPB=180^(@)`
`impliesangle2+angle2+60^(@)=180^(@)" "` [ समीकरण (1) और (2) से]
`implies2angle2=120^(@)" "impliesangle2=60^(@)`
`:.angle2=angle3=60^(@)`
`DeltaAPB` के सभी कोण `60^(@)` के है।
`:.DeltaAPB` एक समबाहु त्रिभुज है।