दी आकृति में, O केन्द्र के वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है और इसकी एक जीवा AB की लम्बाई 9.6 सेमी है। A और B पर खींची गई स्पर्श रेखायें बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती है। PA की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Explanation

OP, OA और OB को मिलाते है।
माना PA = x सेमी और PM = y सेमी `DeltaAPM" और "DeltaBPM` में,
`:'{{:(PA=PB" "("":'" एक बाह्य बिन्दु से खींची स्पर्श रेखायें बराबर होती है")),(PM=PM" "(" उभयनिष्ठ ")),(angle1=angle2" "(" स्पर्श रेखायें केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती है ")):}`
`:.DeltaAMP~=DeltaBMP" "` (SSS सर्वागसमता)
`:.AM=MB=(9.6)/(2)=4.8` सेमी (c.p.c.t)
और `anglePMA=anglePMB" "` (c.p.c.t)
परन्तु `anglePMA+anglePMB=180^(@)" "` (रैखिक युग्म)
`:.anglePMA=anglePMB=90^(@)`
अब समकोण `DeltaAMP` में,
`x^(2)=y^(2)+(4.8)^(2)" "` (पाइथागोरस प्रमेय से) ....(1)
तथा समकोण `DeltaAMO` में,
`(4.8)^(2)+OM^(2)=(6)^(2)`
`:.OM^(2)=36-23.04=12.96`
`:.OM=sqrt(12.96)=3.6` सेमी
अब `angleOAP=90^(@)" "` (स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है)
समकोण `DeltaAOP` में,
`:.OP^(2)+OA^(2)+AP^(2)`
`(y+3.6)=36+x^(2)`
`impliesy^(2)+12.96+7.2y=36+y^(2)+(4.8)^(2)" "` [समीकरण (1) से ]
`implies7.2y=36+23.04-12.96" "implies7.2y=46.08`
`y=(46.08)/(7.2)=(6.4)` सेमी
y का यह मान समीकरण (1) में रेखा पर,
`x^(2)=(6.4)^(2)+(4.8)^(2)=40.96+23.04=64`
`:.x=8`
अतः x = 8 सेमी और y=6.4 सेमी