दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 13 सेमी और 8 सेमी है। बड़े वृत्त का व्यास AB है। छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा BD इसे D पर स्पर्श करती है। AD की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Explanation

BD को बढ़ाया जो वृत्त को E पर काटती है। AE और OD को मिलाया।
`:'AB` बड़े वृत्त का व्यास है।
`:.angleAEB=90^(@)" "` (अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है)
तथा `angleODB=90^(@)" "` (स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है)

अब `DeltaBOD" और "DeltaBAE` में,
`angleB=angleB" "` (उभयनिष्ठ)
`angleODB=angleAEB" "` (प्रत्येक `90^(@)`)
`:.DeltaBOD~DeltaBAE" "` (AA उपप्रमेय)
`:.(OD)/(AE)=(OB)/(AB)" "` (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती है)
`implies(8)/(AE)=(r)/(2r)" "impliesAE=16` सेमी
? `:'ODbotEB`
`:.DE=DB` (केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है)
समकोण `DeltaODB` में,
`DB^(2)=OB^(2)-OD^(2)`
`=(13)^(2)-(8)^(2)=169-64=105`
`:.DB=sqrt105" सेमी "=ED`
अब समकोण `DeltaAED` में, पाइथागोरस प्रमेय से
`AD^(2)=AE^(2)+ED^(2)`
`impliesAD^(2)=(16)^(2)+105=256+105=361`
`AD=sqrt361=19`
सेमी
अतः AD = 19 सेमी