निम्नलिखित प्रत्येक आवर्त दशमलव को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) `0.overline(5)`, (ii) `2.overline(4)`, (iii) `1.overline(12)` , (iv) `2.7overline(39)` ,(v) `0.overline(516)`, (vi) `3.7overline(148)`

Explanation

(i) माना `x = 0.overline(5)`
`rArr x = 0.555"..."" ""...."(1)`
दोनों पक्षों में 10 से गुणा करने पर ( `:'` केवल एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है)
`10x = 5.555"..."" ""..."(2)`
समीकरण (2) से समीकरण (1) को घटाने पर
`{:(10x,=,,5.555"..."),(" "x,=,,0.555"..."),(-,,-,):}/(9x=5)`
`rArr x = 5/9 rArr 0.overline(5)=5/9`
(ii) माना `x = 2.overline(4)`
`rArr x = 2.444"..."" ""....."(1)`
दोनों पक्षों म 10 से गुणा करने पर ( `:'` केवल एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है)
`10x = 24.444"...." " ""..."(2)`
समीकरण (2) से (1) समीकरण को घटाने पर
`{:(10x,=,,24.444"..."),(" "x,=,,2.444"..."),(-,,-,):}/(9x=22)`
`rArr x = 22/9 rArr 2.overline(4)=(22)/(9)`
माना `x = 1.overline(12)`
`rArr x = 1.121212"........" " ""..."(1)`
दोनों पक्षों को 100से गुणा करने पर ( `:'` दो अंको की पुनरावृत्ति हो रही है )
`100x = 112.121212... " " "...."(2)`
समीकरण (2) से समीकरण (1) को घटाने पर
`{:(100x,=,,112.121212"..."),(" "x,=,,1.121212"..."),(-,,-,):}/(99x=111)`
`rArr x = 111/99 rArr 1.overline(12)=(37)/(33)`
(iv) माना `x= 2.overline(739)`
`rArr x = 2.7393939"..."" ""..." (1)`
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर (दशमलव के बाद केवल पुनरावृत्त अंक रखने के लिये)
`rArr 10x= 27.393939" ""..."(2)`
दोनों पक्षो को 100 से गुणा पर ( `:'` दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है )
`:. 1000x = 2739.393939" ""...."(3)`
समीकरण (3) से (2) समीकरण को घटाने पर
`{:(1000x,=,,2739.393939"..."),(" "x,=,,27.393939"..."),(-,,-,):}/(990x=2712)`
`:. x = (2712)/(990) = (452)/(165) rArr 2.7overline(39) = (452)/(165)`
(v) माना `x = 0.overline(5.16)`
`rArr x = 0.516516516" ""..."(1)`
दोनों पक्षों को 1000 से गुणा करने पर ( `:'` तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है))
`1000x = 516.516516516" ""..."(2)`
समीकरण (2) से समीकरण (1) को घटाने पर
`{:(1000x,=,,516.516516516"..."),(" "x,=,,0.516516516"..."),(-,,-,):}/(999x=516)`
`rArr x = (516)/(999) rArr 0.overline(516) = (172)/(333)`
(vi) माना `x = 3.7overline(148)"..."" ""..."(1)`
`rArr x = 3.71148148148"..." " "..."(2)`
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर (दशमलव के बाद केवल पुनरावृत्त अंक रखने के लिये)
दोनों पक्षों को1000 से गुणा करने पर ( `:'` तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है)
`:. 10000x = 37148.148148"..."" ""..."(3)`
समीकरण (3) से समीकरण (2) को घटाने पर
`{:(10000x,=,,37148.148148148148"..."),(" "10x,=,,37.148148148"..."),(-,,-,):}/(9990x=37111)`
`:. x = (37111)/(9990) = (1003)/(270)`
`:. 3.7overline(148)= (1003)/(270)`