सिद्ध कीजिए कि `sqrt(2)` एक अपरिमेय संख्या है।

Explanation

2 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हम विभाजन प्रक्रिया का प्रयोग करेंगे :

अन्य विधि : हम इसे ''विरोधाभास की विधि'' से भी सिद्ध कर सकते है ।
माना `sqrt(2)` परिमेय है ।
तब `sqrt(2)` को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है
`sqrt(2) = p/q , p,q in Z, q ne 0`
(सरलतम रूप में अर्थात p और q दोनों में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है )
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
`2 = (p^(2))/(q^(2)) rArr p^(2) = 2q^(2) "..."(1)`
परन्तु `2, 2q^(2)` को विभाजित करता है ।
`2, p^(2)` को विभाजित करता है ।`" "` [(1) से]
`rArr 2,p` को विभाजित करता है । `({:( :'2","64 "विभाजित करता है।" rArr 2","8 "विभाजित करता है।"),(" "2","36 "विभाजित करता है।" rArr 2","6 "को भी विभाजित करता है,इत्यादि।"):})`
अब, माना `p = 2m, m in Z"...."(2)`
`rArr p^(2) = 4m^(2)` (वर्ग करने पर)
`rArr 2q^(2) = 4m^(2)` [(1) से]
`rArr q^(2) = 2m^(2)"...."(3)`
परन्तु 2, `2m^(2)` को विभाजित करता है ।
`rArr 2, q^(2)` को विभाजित करता है ।
`rArr 2,q` को विभाजित करता है । [ (3) से]
माना `q = 2n, n in Z"....."(4)`
समीकरण (2) और(4) से, हम देखते हैं की 2, p और q दोनों की विभाजित करता है परन्तु हम यह मान चुके हैं कि p और q में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।
अतः यह हमारे पूर्व कथन कि `sqrt(2)` एक परिमेय संख्या है, का विरोध करता है ।
अतः हमारी धारणा गलत है ।
अतः `sqrt(2)` एक परिमेय संख्या नहीं है ।
अतः `sqrt(2)` अपरिमेय है ।