सिद्ध कीजिए कि `sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है।

Explanation

माना `sqrt(3)` परिमेय संख्या है ।
तब, `sqrt(3) = (p),(q) , p, q, in Z,q ne 0`
(सरलतम रूप में अर्थात p और q दोनों में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है ।)
`rArr p = sqrt(3)q`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
`p^(2) = 3q^(2)`
परन्तु `3,3q^(2)` को विभाजित करता है।
`rArr 3,p^(2)` को विभाजित करता है।`"......"(1)`
`rArr 3,p^(2)` को विभाजित करता है । [(1) से ]
`rArr 3,p` को विभाजित करता है `({:( :' 3","9 "को विभाजित करता है ।" rArr 3","3 "को भी विभाजित करता है।") ,(" "3","36"को विभाजित करता है ।" rArr3","6 "को भी विभाजित करता है।, इत्यादि।"):})`
अब, माना `p = 3m, m in Z"..."(2)`
`rArr p^(2) = 9m^(2)`(वर्ग करने पर)
`rArr 3q^(2) = 9m^(2)` [(1) से]
`rArr q^(2) = 3m^(2)"...."(3)`
परन्तु `3,3m^(2)` को विभाजित करता है।
`rArr 3,q^(2)` को विभाजित करता है ।
`rArr 3,q` को भी विभाजित करता है। [(3) से]
माना `q = 3n, n in Z"...."(4)`
समीकरण (2) और (4) से, हम देखते है कि 3,p औरq दोनों को विभाजित करता है परन्तु हम यह माना चुके है कि p और q में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं हैं ।
अतः यह हमारे पूर्व कथन कि `sqrt(3)` एक परिमेय संख्या है , का विरोध करता है ।
अतः हमारी धारणा गलत है ।
अतः `sqrt(3)` एक परिमेय संख्या नहीं हैं ।
अतः `sqrt(3)` अपरिमेय है ।