सिद्ध कीजिए कि `3+2sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है।

Explanation

माना `3+2sqrt(5)` परिमेय संख्या है ।
तब , `3+2sqrt(5)=p/q, p,q in Z, q ne 0`
(सरलतम रूप में अर्थात p और q दोनों में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है ।)
`rArr 2sqrt(5) = p/q - 3 rArr sqrt(5) = (p-3q)/(2q) "...."(1)`
समीकरण (1) कि R.H.S. `:'` p और q दोनों पूर्णांक हैं ।
`:. p - 3q in Z` और `2q in Z`
अतः `(p-3q)/(2q)` परिमेय है ।
`rArr` समीकरण (1) कि R.H.S. परिमेय संख्या है ।`"...."(2)`
समीकरण (1) की L.H.S. : माना `sqrt(5)` परिमेय संख्या है ।`"...."(A)`
तब, `sqrt(5),a/b , a,b in Z, b ne 0`
(सरलतम रूप में अर्थात a और b दोनों में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है ।)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
`a^(2) = 5b^(2)"...."(3)`
परन्तु `5,5b^(2)` विभाजित करता है।
`rArr 5,a^(2)` को विभाजित करता है ।
`rArr 5,a` को विभाजित करता है । `({:( :' 5","25 "को विभाजित करता है ।" rArr 5","5 "को भी विभाजित करता है ।"),("5,1000" "को विभाजित करता है।" rArr' "5,10" "को भी विभाजित करता है, इत्यादि"):})`
अब, माना `a = 5m, m in Z"....."(4)`
`rArr a^(2) = 25m^(2)` (वर्ग करने पर)
`rArr 5b^(2) = 25m^(2)` [(3) से]
`rArr b^(2) = 5m^(2)"....."(5)`
परन्तु `5,5m^(2)` को विभाजित करता है ।
`rArr5, b^(2)` को विभाजित करता है । [ (5)से]
`rArr 5,b` को विभाजित करता है ।
माना `b = 5n, n in Z"...."(6)`
समीकरण (4) और (6) से, हम देखते है कि 5,a और b दोनों को विभाजित करता है परन्तु हम यह मान चुके हैं कि a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है ।
अतः यह हमारे पूर्व कथन (A), कि `sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है, का विरोध करता है ।
अतः `sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है ।
`rArr` समीकरण (1) की L.H.S. अपरिमेय है ।`"...."(7)`
`:.` समीकरण `(2)` और `(7)` से
`L.H.S. ne R.H.S.`
अतः धारणा की `3+2sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है, गलत है।
अतः `3+2sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है ।