मान ज्ञात कीजिए :
(i) `sqrt(3-2sqrt(2))` , (ii) `sqrt(9+6sqrt(2))`

Explanation

माना `sqrt(3-2sqrt(2)) = sqrt(x) - sqrt(y)"....."(1)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
`3-2sqrt(2) = (sqrt(x) - sqrt(y))^(2)`
`rArr 3-2sqrt(2) = x + y - 2sqrt(xy)`
दोनों पक्षों के परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर
`x+y = 3, xy = 2`
अब `(x-y)^(2) = (x+y)^(2) - 4xy` (सर्वसमिका)
`= 9 -8 = 1`
`:. x - y = +- 1`
`{:("यदि" x - y = 1"......"(2),|,),("और" underline(x+y=3),|,),("जोड़ने पर",|,),(2x=4,|,),(rArr x= 2,|,),(x=2 "समीकरण (2) में रखने पर",|, ),(2-y=1 rArr y = 1,|,),( :. sqrt(3-2sqrt(2)) = sqrt(2) -sqrt(1) = sqrt(2) -1,|,):} {:("यदि" x - y = - 1),("और" underline(x+y=3)"...."(3)),( "जोड़ने पर"),(2x=2),( :. x=1),(x=1 "समीकरण (3) में रखने पर") ,(1+y=3 rArr y = 2),( :. sqrt(3-2sqrt(2)) = sqrt(1) - sqrt(2) = 1 - sqrt(2)),(" लेकिन पर ऋणात्मक है तथा वर्गमूल" "sqrt" "से ऋणात्मक पद प्राप्त नहीं होता है ।"),( :. sqrt(3-2sqrt(2)) ne 1 - sqrt(2)):}`
अतः `sqrt(3-2sqrt(2))`
(ii) माना `sqrt(9+6sqrt(2)) = sqrt(x) + sqrt(y)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
`9+ 6sqrt(2) =x + y +2sqrt(xy)`
`rArr 9 + 2(3sqrt(2)) =x + y +2sqrt(xy)`
दोनों पक्षों से परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर
`x + y = 9, sqrt(xy) = 3sqrt(2) rArr xy =18`
अब `(x-y)^(2) = (x+y)^(2) - 4xy`
(सर्वसमिका)
`= 81 - 72 = 9`
`:. x - y = +-3`
यदि `x - y = 3"....."(2)` और `underline(x+y = 9)`
जोड़ने पर
`2x= 12 rArr x = 16`
`x = 6` समीकरण `(2)` में रखने पर
`6-y = 3 rArr y = 3`
`:. sqrt(9+6sqrt(2)) = sqrt(6) + sqrt(3)`
`:. sqrt(9+6sqrt(2)) = sqrt(6) + sqrt(3)`
यदि `x - y = 3"....."(3)`
और `underline(x+y=9)`
जोड़ने पर
`2x = 6 rArr x = 3`
`x = 3` समीकरण (3)में रखने पर
`3-y =-3 rArr y = 6`
`:. sqrt(9+6sqrt(2)) = sqrt(3) + sqrt(6)`