समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण एक-दूसरे को बिन्दु 'O' पर काटते है। बिन्दु 'O' से होकर जाने वाली एक रेखा AB को बिन्दु X और CD को बिन्दु Y पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि
`square`AXYD का क्षेत्रफल `= (1)/(2) xx squareABCD` का क्षेत्रफल

Explanation

हम जानते है कि समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण इसे दो बराबर क्षेत्रफलों के त्रिभुजों में विभक्त करता है।
अब AC समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण है।
`therefore DeltaACD` का क्षेत्रफल = `(1)/(2)xxsquareABCD` का क्षेत्रफल `" …(1)"`
`DeltaAOX` और `DeltaCOY` में,

AO = CO (समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते है) ltrgt `angleAOX = angleCOY` (शीर्षाभिमुख कोण)
`angleOAX = angleOCY` (एकान्तर अन्तः कोण)
`therefore DeltaAOX ~=DeltaCOY`
`implies DeltaAOX` का क्षेत्रफल `=DeltaCOY` का क्षेत्रफल `" ...(2)"`
अब `DeltaACD` का क्षेत्रफल `=squareAOYD` का क्षेत्रफल `+DeltaOCY` का क्षेत्रफल
`=squareAOYD` का क्षेत्रफल `+DeltaAOX` का क्षेत्रफल [समीकरण (2) से]

`=squareAXYD` का क्षेत्रफल lt,brgt `therefore` समीकरण (1) से
`squareAXYD` का क्षेत्रफल `=(1)/(2)xxsquareABCD` का क्षेत्रफल