यदि किसी चतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण उस चतुर्भुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है, तो सिद्ध कीजिए कि वह चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज होगा।

Explanation

माना चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD है।
प्रश्नानुसार विकर्ण `AC, squareABCD` को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है।
`therefore DeltaABC` का क्षेत्रफल `=DeltaACD` का क्षेत्रफल
`implies DeltaABC` का क्षेत्रफल `=(1)/(2)xxsquareABCD` का क्षेत्रफल `" ...(1)"`
इसी प्रकार विकर्ण `BD, squareABCD` को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है।
`therefore DeltaABD` का क्षेत्रफल =`DeltaBCD` का क्षेत्रफल
`implies DeltaABD` का क्षेत्रफल `=(1)/(2)xxsquareABCD` का क्षेत्रफल `" ...(2)"`
समीकरण (1) और (2) से
`DeltaABC` का क्षेत्रफल `=DeltaABD` का क्षेत्रफल
परन्तु `DeltaABC` और `DeltaABD` का एक ही आधार AB है।
`therefore` इनकी संगत ऊँचाइयाँ समान होगी।
implies AB और DC समान्तर है।
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते है कि AD और BC समान्तर है।
`therefore squareABCD` एक समान्तर चतुर्भुज है।