चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते है। दर्शाइए कि `ar(APB)xxar(CPD)=ar(APD)xxar(BPC)` है।
संकेत : A और C से BD पर लम्ब खींचिए

Explanation

बिन्दु A से AM `_|_` BD तथा बिन्दु C से `CN_|_BD` खींचते है।

`ar(DeltaABP)=(1)/(2)xxBPxxAM" …(1)"`
तथा `ar(DeltaAPD)=(1)/(2)xxDPxxAM" …(2)"`
समीकरण (2) में समीकरण (1) से भाग देने पर
`(ar(DeltaAPD))/(ar(DeltaABP))=((1)/(2)xxDPxxAM)/((1)/(2)xxBPxxAM)`
`implies (ar(DeltaAPD))/(ar(DeltaABP))=(DP)/(BP)" ...(3)"`
इसी प्रकार
`(ar(DeltaCDP))/(ar(DeltaBPC))=((1)/(2)xxDPxxCN)/((1)/(2)xxBPxxCN)`
`implies(ar(DeltaCDP))/(ar(DeltaBPC))=(DP)/(BP)" ...(4)"`
समीकरण (3) व (4) से,
`(ar(DeltaAPD))/(ar(DeltaABP))=(ar(DeltaCDP))/(ar(DeltaBPC))`
`impliesar(DeltaAPD)xxar(DeltaBPC)`
`=ar(DeltaABP)xxar(DeltaCDP)`