P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु है तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि :
(i) `ar(PRQ)=(1)/(2)ar(ARC)`
(ii) `ar(RQC)=(3)/(8)ar(ABC)`
(iii) `ar(PBQ)=ar(ARC)`

Explanation

(i) प्रश्नानुसार `DeltaABC` में बिन्दु P तथा Q क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु है। AQ तथा PC को मिलाया `DeltaAPQ` की माध्यिका QR है।

अतः `ar(DeltaPRQ)=(1)/(2)ar(DeltaAPQ)" …(1)"`
पुनः `DeltaABQ` की माध्यिका QP है, अतः
`ar(DeltaAPQ)=(1)/(2)ar(DeltaABQ)" ...(2)"`
तथा `DeltaABC` की माध्यिका AQ है, अतः
`ar(DeltaABQ)=(1)/(2)ar(DeltaABC)" ...(3)"`
समीकरण व से (1) व (2) से
`ar(DeltaPRQ)=(1)/(2)ar(DeltaAPQ)`
`=(1)/(2)xx(1)/(2)ar(DeltaABQ)`
`=(1)/(4)ar(DeltaABQ)`
`=(1)/(4)xx(1)/(2)ar(DeltaABC)` [समीकरण (3) से]
`therefore ar(DeltaPRQ)=(1)/(8)ar(DeltaABC)" ...(4)"`
`therefore DeltaAPC` की माध्यिका CR है, अतः
`ar(DeltaARC)=(1)/(2)ar(DeltaAPC)`
`=(1)/(2)xx(1)/(2)ar(DeltaABC)`
`=(1)/(4)ar(DeltaABC)` (`because DeltaABC` की माध्यिका CP है)
`impliesar(DeltaABC)=4ar(DeltaARC)" ...(5)"`
समीकरण (4) व (5) से,
`ar(DeltaPRQ)=(1)/(8)xx4ar(DeltaARC)` [समीकरण (5) से]
`impliesar(DeltaPRQ)=(1)/(2)ar(DeltaARC)`
(ii) `ar(DeltaRQC) =ar(DeltaRQA)+ar(DeltaAQC)-ar(DeltaARC)" ....(6)"`
`because DeltaPQA` की माध्यिका RQ है, अतः
`ar(DeltaRQA)=(1)/(2)ar(DeltaPQA)=(1)/(2)xx(1)/(2)ar(DeltaAQB)` (`DeltaAQB` की माध्यिका AQ है)
`=(1)/(4)ar(DeltaAQB)`
`=(1)/(4)xx(1)/(2)ar(DeltaABC)` (`DeltaABC` की माध्यिका AQ है)
`=(1)/(8)ar(DeltaABC)" ...(7)"`
`because DeltaABC` की माध्यिका AQ है, अतः
`ar(DeltaAQC)=(1)/(2)ar(DeltaABC)" ...(8)"`
`because DeltaAPC` की माध्यिका CR है, अतः
`ar(DeltaARC)=(1)/(2)ar(DeltaAPC)=(1)/(2)xx(1)/(2)ar(DeltaABC)" ....(9)"` (क्योकि `DeltaABC` की माध्यिका CP है)
अब समीकरण (6), (7), (8) और (9) से
`ar(DeltaRQC)=(1)/(8)ar(DeltaABC)+(1)/(2)ar(DeltaABC)-(1)/(4)ar(DeltaABC)`
`=[(1)/(8)+(1)/(2)-(1)/(4)]ar(DeltaABC)`
`=(3)/(8)ar(DeltaABC)`
(iii) `DeltaABQ` की माध्यिका PQ है, अतः
`ar(DeltaPBQ)=(1)/(2)ar(DeltaABQ)`
`=(1)/(2)xx(1)/(2)ar(DeltaABC)` (क्योकि `DeltaABC` की माध्यिका AQ है)
`=(1)/(4)ar(DeltaABC)" ...(10)"`
समीकरण (9) व (10) से,
`ar(DeltaPBQ)=ar(DeltaARC)`