आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग है। रेखाखण्ड `AX_|_DE` भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि :

(i) `DeltaMBC ~= DeltaABD`
(ii) `ar(BYXD) = 2 ar (MBC)`
(iii) ar(BYXD) = ar(AMBN)
(iv) `DeltaFCB~=DeltaACE`
(v) ar(CYXE)=2ar(FCB)
(vi) ar(CYXE)=ar(ACFG)
(vii) ar(BCED) = ar(ABMN) + ar(ACEG)
टिप्पणी : परिणाम (vii) प्रसिद्ध, (सुपरिचित) पाइथागोरस प्रमेय है। इस प्रमेय की एक सरलतम उपपत्ति आप कक्षा X में पढ़ेंगे।

Explanation

(i) `DeltaMBC` और `DeltaABD` में,
BC = BD [वर्ग BCED की भुजाएँ]
`angleMBC = angleABD` (क्योकि प्रत्येक `90^(@)+angleABC`)
तथा MB = AB [वर्ग ABMN की भुजाएँ]
अतः `DeltaMBC ~= DeltaABD` (S.S.S. से)
(ii) अब `DeltaABD` और चतुर्भुज BYXD एक ही आधार BD और एक ही समान्तर रेखाओं BD और AX के बीच स्थित है। अतः
`ar(DeltaADB)=(1)/(2)ar(BYXD)`
परन्तु `DeltaMBC ~= DeltaABD` [भाग (i) के अनुसार]
`implies ar(DeltaMBC)=ar(DeltaABD)`
`therefore ar(DeltaMBC)=(1)/(2)ar(BYXD)" ...(1)"`
`implies ar(BYXD)=2ar(DeltaMBC)`
(iii) अब `DeltaMBC` और वर्ग ABMN एक ही आधार MB और एक ही समान्तर रेखाओं MB तथा NC के बीच स्थित है। अतः
`ar(DeltaMBC)=(1)/(2)ar(ABMN)" ...(2)"`
समीकरण (1) व (2) से
ar(BYXD) = ar(ABMN)
(iv) अब `DeltaFCB` तथा `DeltaACE` में,
CB = CE [वर्ग BCED की भुजाएँ]
`angleFCB = angleACE` (क्योकि प्रत्येक कोण `90^(@)+angleBCA`)
तथा FC = AC (वर्ग ACFG की भुजाएँ)
अतः `DeltaFCB~=DeltaACE` (S.A.S. से)
(v) `DeltaACE` और चतुर्भुज CYXE एक ही आधार CE और एक ही समान्तर रेखाओं CE तथा AX के बीच स्थित है अतः
`ar(ACE)=(1)/(2)ar(CYXE)`
`implies (1)/(2)ar(CYXE) = ar(DeltaFCB)` [भाग (iii) से]
`implies ar(CYXE)=2ar(DeltaFCB)`
(vi) वर्ग ACFG और `DeltaBCF` एक ही आधार CF और BG एक ही समान्तर रेखाओं और के बीच स्थित है अतः
`ar(DeltaBCF) = (1)/(2)ar(ACFG)`
तथा `ar(DeltaFCB)=(1)/(2)ar(CYXE)`
अतः `(1)/(2)ar(CYXE)=(1)/(2)ar(ACFG)`
`impliesar (CYXE) = ar (ACFG)`
(vii) `DeltaACB` के पाइथागोरस प्रमेय से
`BC^(2)=AB^(2)+AC^(2)`
`implies BCxxBD=ABxxMB+AC+FC`
`implies ar(BCED)=ar(ABMN)+ar(ADFG)`