माना कि `f(x)={{:(|x|+1",",xlt0),(0",",x=0),(|x|-1",",xgt0):}` तो a के किन मानों के लिए `lim_(xrarra) f(x)` का अस्तित्व है।

Explanation

Case I. जब a = 0 :
`underset(xrarra^(-))(lim)f(x)=underset(xrarr0^(-))(lim)f(x)=underset(xrarr0)(lim)(|x|+1)=0+1=1" ...(1)"`
`underset(xrarra^(+))(lim)f(x)=underset(xrarr0^(+))(lim)f(x)=underset(xrarr0)(lim)(|x|-1)=0-1=-1" ...(2)"`
चूँकि `underset(xrarr0^(-))(lim)f(x) ne underset(xrarr0^(+))(lim)f(x),` अतः `underset(xrarr0)(lim)f(x)` नहीं करता है
Case II. जब `alt0` :
इस स्थिति में `f(x)={{:(|x|+1","," for "xrarra^(-)),(|x|+1","," for "xrarra^(+)):}`
`therefore underset(xrarra^(-))(lim)f(x)=underset(xrarra^(-))(lim)(|x|+1)=|a|+1`
तथा `underset(xrarra^(+))(lim)f(x)=underset(xrarra^(+))(lim)(|x|+1)=|a|+1`
`therefore" "underset(xrarra)(lim)f(x)` करता है तथा यह `|a|+1` के बराबर है।
Case III. जब `a gt 0` :
`f(x)={{:(|x|+1","," for "xrarra^(-)),(|x|+1","," for "xrarra^(+)):}`
`therefore underset(xrarra^(-))(lim)f(x)=underset(xrarra^(-))(lim)(|x|+1)=|a|+1`
तथा `underset(xrarra^(+))(lim)f(x)=underset(xrarra^(+))(lim)(|x|+1)=|a|+1`
`therefore underset(xrarra)(lim)f(x)` तथा `|a|-1` यह के बराबर है ।
इस प्रकार `underset(xrarr0)(lim)f(x)` करता है जब `a lt 0 " या "agt0`
लेकिन `underset(xrarr0)(lim)f(x)` नहीं करता है
अतः `underset(xrarra)(lim)f(x), a ne 0` के लिये करता है