बिंदुओं O, P Q और R के निर्देशांक क्रमश : `(0,0,4),(4,6,2m), (2,0,2n)` और `(2,4,6)` हैं । मान लीजिए कि L, M, N और K क्रमश भुजाओं `OR, OP, PQ` और QR पर इस प्रकार के बिन्दु है कि `LMNK` एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी दो संलग्न भुजाएँ LK और LM है, जिनमें से प्रत्येक कि लम्बाई `sqrt(2)` है| m और n के मान क्रमश क्या है ?

Options

A. 6,2
B. 1,3
C. 3,1
D. उपरोक्त में से कोई नहीं

Explanation

LMNK एक समांतर चतुर्भुज है । हम जानते है, किसी चतुर्भुज के मध्य बिंदुओं को मिलाने पर एक समान्तर `(0,0,0)` चतुर्भुज प्राप्त होता है ।
`:. M , OP` का मध्य बिंदु है, `L, OR` का मध्य बिंदु है तथा `K, RQ` का मध्य बिन्दु ह
M के निर्देशांक `= ((0+4)/(2), (0+6)/(2), (0+2m)/(2))`
`= (2,3,m)`

मध्य बिन्दु के निर्देशांक
`= ((x_(1) + x_(2))/(2), (y_(1) + y_(2))/(2), (z_(1) + z_(2))/(2))`
L के निर्देशांक `= (1,2,3)`
और K के निर्देशांक `= (2,2,3+n)`
अब `LM = sqrt(2)`
`rArr sqrt((2 - 1)^(2) + (3-2)^(2) + (m-3)^(2)) = sqrt(2)`
`rArr sqrt(1+1+(m-3)^(2)) = sqrt(2)`
वर्ग करने पर ,
`rArr 2 + (m-3)^(2) = 2`
`rArr (m-3)^(2) = 0`
`rArr m = 3`
पुनः `LK = sqrt(2)`
`rArr sqrt((2-1)^(2) + (2-2)^(2) + (3+n-3)^(2)) = sqrt(2)`
`rArr sqrt(1 +0 + n^(2)) = sqrt(2)`
वर्ग करने पर,
`rArr 1 + n^(2) = 2`
`rArr n^(2) = 1`
`rArr n = 1`